Глава 7. Методологические аспекты синергетики. 3 страница
I) Все суждения (или сообщения) разделяются на две группы: “истинные” (в математической логике им ставится в соответствие индекс “1”) и “ложные” (им соответствует индекс “0”). Алгоритм построения сложного суждения формулируется с использованием логических связок “и”, “или” и “не”. Требуется, чтобы сложное суждение тоже было либо “истинным”, либо “ложным” (верным - не верным). Иными словами, на каждый вопрос, сформулированный в рамках аксиоматики (или алгоритма) должен быть получен ответ, причем только один: “да” или “нет” (истинно -ложно, верно - не верно) Это положение известно как аксиома исключенного третьего (tertium non datur). Этим достигается однозначность суждений.
Отсюда следует, что формальная логика имеет дело с дискретным множеством объектов, о которых ставятся вопросы и выносятся суждения. Множество суждений тоже дискретно.
ii) Каждое из суждений является абсолютным, т.е. не зависящим от цели, с которой оно делается, и должно быть доказано, либо опровергнуто. Такой подход носит в себе отзвук божественного происхождения законов природы. Это значит, что на множестве объектов A,B,C, ...на вопросы типа: А или не - А, А равно В (или не равно) A>B, A<B и т.п. ответ должен быть однозначным не зависимо от меры сходства или различия. Вообще понятие меры в формальной логике отсутствует.
iii) Все элементы множества равноправны, что в частности относится и к множеству чисел.
|
|
|
В математике наряду с дискретными, рассматриваются и метрические континуальные множества, где вводится понятие меры. Тем не менее, равноправие чисел сохраняется. Например, если два отрезка длинами x1 и x2 отличаются на малую конечную величину Dx << x1,x2, то отрезок Dx можно “растянуть” (т.е. измерить в другом масштабе) и рассматривать как достаточно протяженный. На этом основано утверждение о бесконечной делимости отрезка. Последнее в современной математике играет существенную роль.
Успех формальной логики и построенной на её основе математики в 18-ом веке породил уверенность в том, что иначе и быть не может. В 19-ом и 20-ом столетиях эта уверенность была поколеблена. Более того, выяснилось, что система формальной логики не является полной.
Примеры неоднозначности внутри формальной логики отмечались и ранее и формулировались в виде парадоксов, таких как: парадокс лжеца и проблема буриданова осла. В строгом математическом виде неполнота системы формальной логики была доказана Гёделем.
Далее логика развивалась под давлением двух обстоятельств.
Во-первых делались (и делаются) попытки сформулировать аксиомы логики, лишенной внутренних противоречий. Эти попытки прямо не связаны с проблемами естественных наук, но могут повлиять на них косвенно.
|
|
|
Во-вторых, развитие естественных наук требовало уточнения ряда положений логики. Так, В 19-ом столетии выяснилось, что каждое утверждение не может быть абсолютным, но может быть сделано с определенной точностью. Последняя зависит от способа измерения, а в более общем случае, от возможности наблюдения.
Роль, которую сыграли принципы измеримости и наблюдаемости в естественных науках, общеизвестна. Они приблизили логику к реальной жизни, но разрыв ещё остался.
2. В конструктивной логике (см. [9,10] в отличие от классической, каждое утверждение подвергается конструктивной проверке путем измерения или, в более общем случае, наблюдения. Так, в классической логике на вопрос: “А или не - А” всегда должен быть получен однозначный ответ: “да” или “нет”. В конструктивной логике допускается отказ от ответа, если истинность суждения невозможно проверить.
В естественных науках такая ситуация встречается довольно часто. Если утверждение в принципе не наблюдаемо, то оно относится к категории бессодержательных.
3. В последнее время предложена релевантная (уместная) логика [11]. Она отличается от классической тем, что формально правильные, но “неуместные” логические построения в ней “отбраковываются” Благодаря этому удается избежать парадоксов, ведущих к заведомо неверным выводам.
|
|
|
4. В рамках многозначных логик [12] все суждения разделяются не на две, а на большее число групп. В трехзначной логике допустимы три типа ответов: “да”, “нет” и “может быть”. Последний ответ также может быть выражен словами: “не известно”, “утверждение бессмысленно” [13] или “бессодержательно”. Эти варианты отличаются в основном эмоциональной окраской. Так, ответы “не известно” или “может быть” носят субъективный характер (мне не известно, но кому то другому, возможно, известно). Слова “бессмысленно” или “бессодержательно” означают, что это утверждение не может быть доказано (или опровергнуто) в рамках всего человечества (и, возможно, в рамках Вселенной).
Соответственно увеличивается и число символов Далее, устанавливаются правила (алгоритмы) определения символа сложного суждения, если известны символы, входящих в него простых (исходных) суждений
5. Так называемая нечеткая логика (фальш-логика, fuzzy logic, [14,15]) отличается от предыдущих существенно. Каждый объект (или каждое суждение) рассматривается в ней не как эталон, а как ансамбль сходных объектов. Вместо однозначных ответов (“да” - “нет”) используются вероятностные суждения типа: с вероятностью Р - “да” и с вероятностью 1-Р - “нет”. Разумеется при этом вводится мера сходства (или различия) объектов. Привлекательность этой логики в том, что она часто (но не всегда) близка к реальности. Недостаток её в том, что соответствующий ей математический аппарат, развит ещё недостаточно. Точнее, существуют попытки создать аппарат на основе нечетких множеств, но применение его ограничено. Это не удивительно, поскольку современная математика - язык универсальный, люди им овладели и широко используют. Заменить её другой математикой равносильно предложению перейти всем на язык эсперанто.
|
|
|
По поводу всех упомянутых вариантов логики можно сделать ряд замечаний.
i) Понятие цели, с которой ставится задача в них отсутствует. Неявно предполагается, что любая логическая задача когда ни будь, кому ни будь для чего ни будь пригодится. Это относится как к задачам, которые имеют однозначное логическое решение, так и к задачам, которые его не имеют. Так, например, решение проблемы буриданова осла действительно необходимо для достижения конкретных целей. То же можно сказать и о других парадоксах формальной логики.
ii) Во всех упомянутых вариантах логики рассматривается постановка задачи и ответ (если он существует). В действительности построение суждения (или принятие решения) представляет собой процесс, организованный во времени. Он реализуется либо в мыслительном аппарате человека, либо в компьютере. В логике это обстоятельство ускользает от внимания. Поэтому вопрос об устойчивости логических алгоритмов до сих пор не ставился. Устойчивость процесса логического описания того или иного явления и устойчивость описываемого процесса связаны друг с другом. Поэтому устойчивость (или неустойчивость) является важным критерием любой логической задачи. На наш взгляд дефекты логических схем связаны именно с тем, что этот критерий в них не используется.
iii) В рассмотренных вариантах логики суждения считаются либо абсолютными, либо сильно размытыми (нечеткая логика). В реальности встречаются задачи обоих типов, как требующие точного ответа, так и вероятностного. Выбор какого либо одного варианта логики означает отказ от решения значительной части задач.
Из приведенных замечаний следует, что ни один из упомянутых вариантов логики не охватывает весь круг актуальных задач современного естествознания.
Возникает вопрос: как быть?
Можно в реальной жизни и в науке вообще обходиться без логики (как, собственно, и поступает большинство людей). Можно попытаться сделать следующий шаг и предложить логику более близкую к реальности. Такую логику можно условно назвать целесообразной. В её рамках любое утверждение может быть верным, не верным и бессмысленным в зависимости от условий задачи и целей её решения. Так, например, утверждение А=В верно или не верно в зависимости от того, сколь велика разница между А и В и препятствует ли это отличие достижению цели, с которой делается это утверждение. Справедливость утверждения определяется не возможностью измерить (наблюдать) отличие, а целесообразностью принимать (или не принимать) это отличие во внимание. Если отличие в принципе не измеримо, то принимать его во внимание заведомо не целесообразно.
Такое предложение может восприниматься негативно, по следующим причинам:
Во-первых, оно низводит логику до уровня прикладных наук и лишают её ореола божественности и независимости от мирской суеты. Однако, именно это обстоятельство позволяет решить наболевшие вопросы и выйти из замкнутого круга бесплодной софистики.
Во-вторых, по звучанию “целесообразная логика” представляется как нонсенс. С первого взгляда кажется, что на любой вопрос можно ответить вопросом: -“чего изволите?”. Однако, в реальных задачах такой ответ не так уж глуп. Приведем пример: В рамках формальной логики на вопрос: сколько будет 7´7 верен ответ: 7´7=49 и любой другой ответ не верен. В рамках целесообразной логики столь же верен ответ: 7´7=50. Именно этот ответ часто используют люди для прикидочных расчетов “в уме”, когда требуемая точность не велика.
В конкретных задачах целесообразная логика сводится к какому либо из известных уже вариантов логики. Так, например, если заменить понятия “истинно” и “ложно” (верно - не верно) словами “целесообразно” - “не целесообразно”, то мы вернемся к аксиоматике классической логики. При этом изменится не структура логики, а правила оценки суждения. Может оказаться, что “верный” (с точки зрения классической логики) вывод “не целесообразен” и наоборот. Примеры этого мы обсудим позже.
Таким образом, целесообразная логика не претендует на роль новой логической конструкции. Цель её введения иная, она в том, чтобы определить области применимости известных вариантов логики в естественных науках и сформулировать соответствующие критерии.
Для того, чтобы охватить в единой логической схеме весь круг задач, целесообразно указать меру размытости, обладающую следующими свойствами:
Во-первых, она должна быть конечной, но достаточно малой, такой, чтобы при решении устойчивы[AK1] [AK1]х задач ею всегда можно было бы пренебречь. Это позволяет использовать в таких случаях традиционную математику без каких либо изменений.
Во-вторых, в неустойчивых процессах эта мера должна приводить к полной размытости результата. Это позволяет использовать в таких случаях традиционный вероятностный подход.
С учетом этих замечаний аксиоматику конструктивной логики можно сформулировать в следующем виде.
(1) В [AK2] [AK2]каждой задаче должна быть сформулирована цель. Бесцельные задачи квалифицируются как бессмысленные и рассмотрению не подлежат. В этом смысле целесообразная логика перекликается с релевантной[2][2]
(2). Любой расчет (или алгоритм) следует рассматривать как процесс, организованный во времени т.е. проводящийся поэтапно. (что справедливо по крайней мере по отношению к компьютерным расчетам). Это позволяет поставить и решить вопрос об устойчивости и/или сходимости в рамках классической математики.
(3) Как и в классической логике каждому суждению соответствует “0” или “1”, но они рассматриваются не как символы, а как числа, близкие либо к 0, либо к 1, например, 0,000...abc или 1,000...def, где a,b,c и d,e,f - -случайные числа от 0 до 9. Это положение напоминает “fuzzy logic”, но, в отличие от последней, требуется, чтобы “размытость” была мала, порядка “обратный гугол”.
(4). Если процесс устойчив и сходится к определенному результату, то автоматически сохраняется аксиоматика классической логики (и математики). В этом случае сложное суждение будет “размыто” в ту же меру, что и исходное, Наблюдать такую “размытость” в принципе невозможно.
(5) Если процесс неустойчив, то малая “размытость” исходных суждений приводит к большой (порядка единицы) размытости “сложного” суждения. В результате суждение, “истинное” или “ложное” в рамках классической логики, оказывается ни тем, ни другим, а просто “не целесообразным” (бессодержательным). В математике это ведет к серьёзным последствиям. поскольку ряд теорем (в частности теорема Лиувилля ) при этом теряют силу.
(6). Если процесс построения суждения не сходится, то его следует остановить на любой итерации порядка гугол.
(7). Целесообразными следует считать средние характеристики ансамбля результатов расчетов неустойчивых и/или не сходящихся процессов. Усреднение проводится по результатам расчетов, отличающихся выбором произвольного числа порядка гугол (или обратный гугол). Результаты расчета каждого отдельного процесса являются не целесообразными. Динамика средних характеристик устойчива по определению среднего и расчет её подпадает под п. (4)
Перечисленные положения представляют собой алгоритм расчета процессов, как устойчивых, так и неустойчивых.
В рамках этого алгоритма отсутствуют противоречия и неоднозначности характерные для классического подхода. Для иллюстрации приведем несколько примеров.
Первый относится к проблеме временной необратимости и роста энтропии в гамильтоновых системах типа биллиарда Больцмана. В них любая траектория изображающей точки в многомерном фазовом пространстве неустойчива.
Согласно п. (3) нужно начальные условия задавать не в точке, а в малой области , не меньшей, чем обратный гугол и рассматривать поведение ансамбля точек. Согласно п. (7) целесообразно рассматривать средние характеристики ансамбля. Одной из них является энтропия, определенная, согласно Синаю как логарифм объема фазового пространства внутри всюду выпуклой оболочки, охватывающей ансамбль точек. Эта величина растет со временем и стремится к определенному пределу. По всем свойствам она совпадает с физической энтропией. Этот результат следует считать целесообразным (если, считать целью использование его для расчета, например, тепловых машин) и в этом смысле “правильным”.
С другой стороны, если рассматривать поведение отдельной траектории (что равносильно заданию начальных условий с абсолютной точностью), то каждый процесс обратим во времени и энтропия расти не может (что и составляет суть теоремы Лиувилля). Этот результат является “верным” (или “истинным”) в рамках классической аксиоматики, но, согласно (5) не целесообразным и в этом смысле “не правильным”. Результат Синая в том же смысле является целесообразным и “правильным”, хотя и “не верным” с точки зрения классической логики.
На этом примере видна разница между понятиями “истинно” (“ложно”) и “целесообразно” (не целесообразно”). Напомним, что при рассмотрении устойчивых процессов этой разницы нет.
Проблема Буриданова осла в рамках целесообразной логики решается просто. Ясно, что положение осла не устойчиво. Согласно п. (3) надлежит рассмотреть ансамбль ослов, расположенных не точно между стогами сена, а в интервале порядка гугол. Согласно п. (7) целесообразным является вопрос: как распределятся ослы в пространстве. Ответ ясен: они разделятся на две равные группы и одни пойдут направо, а другие - налево. Такое поведение ослов целесообразно, если их цель - не умереть с голоду. Вопрос: куда пойдет каждый отдельный осел ставить не целесообразно. Напомним, в рамках классической математики при точно заданных начальных условиях, осел останется стоять на месте и умрет. Такое поведение не целесообразно даже с точки зрения осла.
Парадокс лжеца, напомним, состоит в следующем: привратник имеет приказ: правдивым людям рубить голову, а лжецов вешать. Предполагается, что правдивый всегда говорит правду, а лжец всегда лжет.
К городу подходит путник. Привратник вопрошает: “кто ты, правдивый человек или лжец?”. Путник отвечает:: “я лжец”. Что должен сделать привратник?
В рамках классической логики задача решения не имеет, потому и отнесена к разряду парадоксов.
В рамках трехзначной логики любое решение лишено смысла.
В рамках релевантной логики сама задача относится к числу запрещенных.
В рамках целесообразной логики решение состоит в следующем.
В отличие от предыдущего случая промежуточное состояние исключено , а не просто не устойчиво. Каждое из разрешенных состояний (“правдивый” и “лжец”) не только не устойчиво, но и не стационарно. Процесс принятия решения состоит из последовательности итераций, каждая из которых приводит к противоположному результату. Этот процесс не является сходящимся. В рамках классической математики такой процесс представляет собой отображение предельного цикла Пуанкаре. Сам цикл устойчив, но фаза цикла не устойчива и может быть выбрана произвольно. В данном случае разрешенные состояния соответствуют противоположным фазам цикла. Таким образом, процесс не соответствует п. (4), но подпадает под п. (6).
Согласно (7) следует усреднить результаты по ансамблю итераций. Усредненный результат можно сформулировать в виде: данный путник в меру лжив и в меру правдив (что, кстати, можно отнести ко всем нормальным людям).
Если цель - определить моральный облик путника, то такой ответ следует считать целесообразным. Напротив, результат любой конкретной итерации (путник либо лжив, либо правдив) следует считать не целесообразным и не применять по отношению к нему упомянутых санкций.
Для сравнения обсудим вариант, когда путник отвечает “я всегда говорю правду”. Этот случай подпадает под п.(4). Процесс принятия решения быстро сходится к результату: путнику надлежит отрубить голову. Такое решение логически безупречно. Кроме того, оно целесообразно, поскольку человек, который всегда говорит правду, социально опасен.
На этих примерах видно, что в устойчивых ситуациях классическая и целесообразная логика не вступают в противоречие.
Обсудим ещё один пример, связанный с условностью математических понятий. Вопрос тоже актуален, поскольку в науке об информации условность играет важную роль, а в математике принято этого не замечать. В качестве примера уместно обсудить проблему “стрелы времени”.
В гамильтоновых системах выбор знака времени произволен. При описании устойчивых процессов этот произвол роли не играет, поскольку эти процессы обратимы.
В глобально неустойчивых процессах будущее отличается от настоящего и прошлого и это отличие реально, поскольку эти процессы необратимы. Однако, и в этих условиях выбор знака времени произволен и делается по общему согласию, т.е. условно.
Можно выбрать знак времени так, что в будущем оно будет более положительным, чем в настоящем (назовем таких людей оптимистами, тоже условно). Именно так считают все люди на нашей планете и потому эта условность воспринимается как объективная реальность.
Можно представить себе людей, столь же разумных, но живущих на другой планете ( или на Земле, но в другом демографическом изоляте), которые выбрали противоположный знак времени. Иными словами, они сочли, что в будущем время будет более отрицательным, чем в настоящем ( в этом тоже есть свой резон, назовем таких людей пессимистами). В обоих социях люди наблюдают одинаковые явления и описывают их одинаково, с точностью до знака времени.
Что происходит при обмене информацией между ними? Можно представить себе несколько вариантов.
i) Люди сообщают друг другу, что в будущем энтропия возрастает. Это объективная реальность и здесь вопросов не возникает.
ii) Люди посылают друг другу неравенство Больцмана, одни в форме: dS/dt >0 и другие - в форме: dS/dt <0 . Тут возникает вопрос: кто же прав?
iii) Люди посылают друг другу киноленты с изображением пожара и в сопроводительном письме указывают, где начало (настоящее) и где конец (будущее). Проблем не возникает, поскольку пожар везде протекает одинаково.
Дата добавления: 2021-04-05; просмотров: 57; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!