Апериодическое звено второго порядка

Апериодическое звено второго порядка эквивалентно двум апериодическим звеньям первого порядка, включенным последовательно друг за другом, с общим коэффициентом передачи k и постоянными времени Т3 и Т4. Пример: генератор постоянного тока. Переходный режим которого описывается дифференциальным уравнением:

Примерами этих звеньев являются двигатель постоянного тока, если на вход его подают напряжение, а выходом является его скорость; цепоч­ка R-L-C; генератор постоянного тока.

Операторное уравнение

.

Передаточная функция

.

Апериодическое звено 2-го порядка будет иметь место при последо­вательном соединении двух апериодических звеньев первого порядка ли­бо при колебательном звене, если Т₂>2Т₁ т.к. при этом корни характери­стического уравнения вещественные.

.

В этом случае исходное дифференциальное уравнение примет вид

.

Корни характеристического уравнения

;

.

Передаточная функция звена принимает вид

.

Временные характеристики звена

Если характеристическое уравнение не имеет кратных и нуле­вых корней, переходная функция h(t) определяется с помощью обратного преобразования Лапласа. Если передаточную функцию представить в виде

то всоответствии с обратным преобразованием Лапласа

 

 

Для рассматриваемого звена i=2.

Корни характеристического уравнения

;

;

.

 

 

	Рис.5.1

Следовательно

или

При T₃>T₄.

На рисунке представлены кривые переходного процесса инерционного звена 2-го порядка (его составляющие). Из графиков видно, что меньшие (малые) постоянные времени влияют на начало переходно­го процесса, а большие по­стоянные времени определя­ют среднюю часть и оконча­ние процесса.

Время переходного про­цесса (регулирования) может быть определено

.

Импульсная (весовая) пе­реходная функция

Рис.5.2

 

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА

АФЧХ инерционного звена 2-го порядка имеет вид

.

Амплитудно-частотная характеристика А(ω)

.

Рис.5.4

Рис.5.3

Фазо-частотная характеристика φ(ω)

.

Логарифмические амплитуды L(ω) и фазовой φ(ω) частотные харак­теристики инерционного звена второго порядка представлены:

Рис.5.5

Схема АП-2 на электронных компонентах

Теоретические данные.

0.55

1.924

Рисунок 4.3 - «Идеальное апериодическое звено 2 порядка»

 

Коэффициент усиления К₀ = =

T₃=0.555

T₃+T₄=1.92

T₄=1.369

Время запаздывания τ=0.148

Передаточная функция

 

 

Практические данные.

0.295

0.13

Рисунок 4.4- «Реальное апериодическое звено 2 порядка»

Коэффициент усиления К₀ =       =

T₃=0.13

T₃+T₄=0.295

T₄=0.167

τ=0.078

Передаточная функция

 

Вывод: Реальное звено переходит в установившейся режим быстрее, чем теоретическое. Большая разница, между постоянными времени, обуславливается не качественным соединением проводов, а также внешними факторами, такими как воздух, дополнительное сопротивление проводов, а также емкость конденсатора, индуктивность катушки индуктивности и сопротивление резисторов может быть меньше указанного.

Колебательное звено

Колебательное звено является элементарным динамическим звеном второго порядка, обладает тремя варьируемыми параметрами. Поэтому его характеристикам уделим более пристальное внимание. Тем более, что колебательным звеном описываются достаточно сложные элементы электромеханических систем и электроприводов, на пример, такой распространенный элемент как электродвигатель постоянного тока.

Передаточная функция колебательного звена –

(1)

где – коэффициент усиления, – постоянная времени, – коэффициент затухания.

Отличительной особенностью колебательного звена является то, что оно меняет не только свои свойства, но и название в зависимости от величины коэффициента затухания:

· если – звено называют колебательным, так как его временные характеристики носят колебательный характер;

· если – звено называют инерционным (апериодическим) звеном второго порядка, так как его временные характеристики носят монотонный характер, то есть колебания отсутствуют;

· если – звено называют консервативным, так как его временные характеристики имеют вид незатухающих колебаний, говорят, звено консервирует колебания.

Получим временные характеристики колебательного звена. Для этого преобразуем его передаточную функцию (1), вводя обозначения –

– показатель затухания,

– угловая частота колебаний,

(2)

Из таблиц преобразования Лапласа имеем –

Теперь мы можем определить импульсную характеристику колебательного звена –

(3)

Примерный вид импульсной характеристики показан на рис. 1.

Рис. 6.1

Определим переходную характеристику колебательного звена –

(4)

Примерный вид переходной характеристики показан на рис. 2.

Рис. 6.2

По рис. 1 и 2 можно легко судить, как влияют параметры колебательного звена временные характеристики.

Подвергнем более подробному анализу временные характеристики колебательного звена для случая , то есть, определим временные характеристики консервативного звена.

Передаточная функция консервативного звена имеет вид –

,

– угловая частота колебаний,

– показатель затухания.

тогда выражения временных характеристик (3) и (4) примут следующий вид –

(5)

 

(6)

Примерный вид характеристик консервативного звена показан на рис. 3 и 4.

Рис. 6.3

Рис. 6.4

Определим частотную характеристику колебательного звена.

(6)

ВЧХ –

(7)

МЧХ –

(8)

АЧХ –

(9)

ФЧХ –

(10)

Построим ВЧХ и МЧХ на одном графике, примерный вид характеристик показан на рис. 6.5.

Рис. 6.5

Примерный вид АФЧХ показан на рис. 6.6.

Рис. 6.6

Примерный вид АЧХ и ФЧХ показан на рис. 6.7 и 6.8, функция АЧХ имеет экстремум ( ) при

.

 

Рис. 6.7

Рис. 6.8

Рассмотрим частотные характеристики консервативного звена ( ).

.

При характеристики (см. рис. 6.9) имеют разрыв

.

Рис. 6.9

Определим ФЧХ консервативного звена –

Примерный вид ФЧХ показан на рис. 10.

Рис. 6.10

Определим логарифмические характеристики колебательного звена.

(11)

Определим асимптотическую ЛАЧХ колебательного звена

Наклон асимптоты –

.

Максимальное отклонение асимптотической ЛАЧХ от точной –

.

Примерный вид ЛАЧХ и ЛФЧХ показан на рис. 6.11.

Рис. 6.11

Для получения временных характеристик инерционного звена второго порядка ( ) пригодны и выражения (3) и (4), полученные выше для колебательного звена. Но они могут быть получены и иначе.

Если , можно преобразовать передаточную функцию звена –

(12)

где

.

Звено с передаточной функцией в виде (12), можно представить в идее двух апериодических звеньев, включенных последовательно, как это показано на рис. 12.

Рис. 6.12

Импульсные характеристики этих звеньев имеют вид –

.

Тогда импульсная характеристика инерционного звена второго порядка может быть получена с использованием теоремы преобразования Лапласа об умножении изображений –

(13)

Переходную характеристику получим, интегрируя (13) –

(14)

Примерный вид временных характеристик инерционного (апериодического) звена второго порядка показан на рис. 6.13.

Рис. 6.13

Получим асимптотическую ЛАЧХ для инерционного звена второго порядка, представляя его в виде двух последовательно включенных апериодических звеньев, (см. рис. 6.12).

На рис. 6.14 и 6.15 показаны ЛАЧХ инерционного звена второго порядка.

Рис. 6.14

Рис. 6.15

Результаты обработки.

6,3

9,75

1,062

Рисунок 4.5 – «Идеальное колебательное звено»

Коэффициент усиления К₀ =  =

Т=1,062

- Частота собственных колебаний (колебаний, которые возникают на выходе звена при отсутствии демпфирования, т.е. в режиме отсутствия условий для гашения колебаний)

–Частота колебаний, развивающихся в звене (точнее, на его выходе) при наличии демпфирования.

Передаточная функция:

 

 

Заключение

Вывод: Во время выполнения курсовой работы, мы научились строить идеальные и реальные инерционные звенья АП1 и АП2, а также колебательные звенья КЗ. В моменте исследования звеньев, столкнулись с отличием передаточных функций, реальных от идеальных, это связано с тем что на реальные звенья, воздействуют различные факторы, такие как, сопротивление резистора, емкость конденсатора, разница в номинальных значениях, воздух и температура окружающей среды.

 

Используемая литература

1.Востриков А.С., Французова Г.А. Теория автоматического управления:

Учебное пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ. – 2006. – 368 с.

2. Кориков А.М. Основы теории управления: Учебное пособие. – Томск: Издво НТЛ. – 2002. – 297 с.

3. Дорф Р. Современные системы управления. Пер. с англ. Б.И.Копылова. –

М.: Лаборатория базовых знаний. – 2002. – 832 с.

4. Яковлева Е.М., Аврамчук В.С. Теория управления: Лабораторный

практикум. – Томск: Изд-во ТПУ – 2005. – 78 с.

5. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и

задачах: Учебное пособие – М.: Высш. шк. – 2003. – 583 с.

6. Вадутов О.С. Оптимальные системы. – Томск: изд-во ТПИ. – 1983. – 95с.

7. Дьяконов В. П. MatLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5: основы применения. – М:

СОЛОН-Пресс. – 2002 – 768 с.

8. Дьяконов В. П. Simulink 4. Специальный справочник. – СПб: Питер. – 2002. –

528 с.

9. Глущенко Е.В., Захарова Е.В., Тихонравов Ю.В. Теория автоматического

управления: Учебный курс. – М.: Вестник. – 1997. – 336 с.

---

Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 501; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!