Теорема о взаимности работ и перемещений
Теорема о взаимности вместе с теоремами Лагранжа и Кастилиано относятся к общим теоремам сопротивления материалов. Она вытекает из принципа независимости действия сил для линейных упругих систем.
Рассмотрим упругое тело, к которому в точках А и В приложены соответственно силы PA и PB (рис.12.8).
Используя принцип независимости действия сил, вычислим работу, которую совершают силы при прямом и обратном порядке их приложения. Приложим сначала силу РА. Она совершит работу 
. Затем приложим силу РВ. Она совершит работу 
. Одновременно с этим совершит работу уже действующая сила PA на некотором перемещении 
, которое совершит точка А от действия силы PB . Эта работа равна 
.
А) б)
Рис. 12.8
Таким образом, в теле будет накоплена потенциальная энергия:
Аналогично при обратном приложении сил будет накоплена энергия:
Сравнивая выражения работ, получим:
(16)
Соотношение (16) выражает собой теорему о взаимности работ (теорема Бетти): работа силы PA на перемещении 
точки её приложения от действия силы PB равна работе силы PB на перемещении 
точки её приложения от действия силы PA.
Под силами PA, PB и перемещениями , 
можно понимать обобщённые силы и перемещения. Если PA=PB , то = и мы приходим к теореме о взаимности перемещений (теорема Максвелла): перемещение 
точки А под действием силы Р, приложенной в точке В, равно перемещению точки В под действием той же силы, приложенной в точке А. Рис. 12.8, б иллюстрирует теорему о взаимности перемещений. Если силы 
то имеем 
|
|
|
Пример 1.
Пусть требуется найти прогиб точки В посередине пролёта балки от действия момента m в опоре А (рис. 12.9).
А) б)
Рис. 12.9
Для определения перемещения 
(рис. 12.9, а) воспользуемся теоремой о взаимности работ. Рассмотрим такую же балку, нагруженную в точке В силой Р (рис. 12.9, б). Решение этой задачи нам известно:
На основании теоремы о взаимности работ
откуда прогиб
Дата добавления: 2020-12-12; просмотров: 61; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!