Принцип возможных перемещений и формула Лагранжа

А) б)

В) г)

Рис. 12.1

Производимая ими работа соответственно равна:

где а величина представляет собой площадь между исходной и изогнутой осями балки.

Обобщённым перемещениемназовём множители , стоящий в выражении работы при обобщённой силе и .

Таким образом, под обобщенной силой будем понимать любую нагрузку (сосредоточенные силы, сосредоточенные пары, распределенную линейную нагрузку, распределенную моментную нагрузку), а под обобщенным перемещением – тот вид перемещения, на котором обобщенная сила производит работу.

Обобщёнными силами могут быть не только внешние, но и внутренние:

Рассмотрим например статически неопределимую балку (рис. 12.2).

Рис. 12.2

Рассечём её на расстоянии z от левого конца и приложим к краям разреза по две нормальные силы N, две перерезывающие , два изгибающих момента , каждая из которых образует группу сил, характеризуемых одним числом, т.е. обобщённую силу.

Возьмём две нормальные силы N. Они совершат работу:

Обобщённое перемещение представляет собой относительное расхождение краёв разреза. Аналогично можно рассмотреть две силы и два момента .

Обобщенные перемещения принято обозначать буквами или с двумя индексами. Первый индекс обозначает точку и направление перемещения, а второй указывает причину, вызвавшую искомое перемещение. Например, обозначает перемещение точки приложения силы F по направлению ее действия, вызванное этой же силой.

Для обозначения полного перемещения точки, вызванного несколькими обобщенными силами, при сохраняется только первый индекс.

Перемещение, вызванное безразмерной единичной силой или безразмерной единичной парой , обозначается символом и называется удельным.

Потенциальная энергия деформации стержня в общем случае его нагружения

Потенциальная энергия деформации при растяжении, кручении и изгибе была рассмотрена в предыдущих лекциях. При изгибе мы не учитываем энергию, возникшую за счёт сдвига.

В общем случае сопротивления бруса деформированию при нагружении в его поперечных сечениях возникают шесть внутренних силовых факторов: .

Для бруса длиной из линейно-упругого материала потенциальная энергия определяется формулой

, (1)

где коэффициенты зависят от формы поперечного сечения. Например, для прямоугольного сечения , для круглого - для тонкостенной трубки

Если стержневая система состоит из нескольких элементов, то необходимо произвести суммирование энергий по числу этих элементов. Энергия растяжения и сдвига, как правило, меньше энергий изгиба и кручения. Вместе с тем возможны случаи (например, внецентренное сжатие), когда энергия растяжения и изгиба одного порядка. Энергия от сдвига в (1), сопровождаемая возникновением перерезывающих сил, может быть определена следующим образом: удельная потенциальная энергия чистого сдвига Следовательно,

Используя формулу Журавского для касательного напряжения, найдём:

где обозначено

Принцип возможных перемещений и формула Лагранжа

Рассмотрим балку (рис. 12.3, а), находящуюся под действием силы Р. Пусть некоторая точка А оси балки совершила конечное действительное перемещение v, которое зависит от значения силы Р, т.е. Изменим внешнюю силу Р на бесконечно малую величину d Р.

А) б)

Рис. 12.3

Тогда действительное перемещение v получит бесконечно малое перемещение dv. Рассмотрим теперь множество перемещений точки А, которые могли бы быть сообщены точке А в соответствии с наложенными на балку внешними связями, но не совершаются фактически вследствие неизменности внешней силы Р. Назовём возможным перемещением любое бесконечно малое воображаемое перемещение, которое может быть сообщено точке А тела в данный момент в соответствии с наложенными на него связями. В отличие от действительного бесконечно малого перемещения dv возможное будем обозначать , где символ носит название вариации и для него приняты те же правила, что и для дифференциала d. Отметим, что это правило в данном случае не относится к нагрузке P.

Пусть теперь мы имеем упругое тело произвольной геометрической формы (рис. 12.3, б). На него действует система обобщённых внешних сил Тогда точка А приложения одной из сил P_i совершит действительное перемещение, проекцию которого на направление этой силы обозначим . Потенциальная энергия U может быть выражена либо через силы P_i, либо через перемещения :

Сообщим точкам приложения сил P_i возможные перемещения . Элементарная работа внешних сил Считая, что U представлена через обобщённые перемещения, найдём элементарную работу внутренних сил:

Приравнивая элементарную работу внешних и внутренних сил, получим условие:

(2)

выражающее принцип возможных перемещений Лагранжа.

Их этого принципа вытекает следующий вывод:

Если некоторая механическая система под действием заданных сил находится в равновесии, то работа сил, приложенных к этой системе, на любых бесконечно малых возможных перемещениях равна нулю. Этот принцип является необходимым и достаточным условием равновесия любой механической системы.

Вследствие произвольности вариаций в (2) находим формулу:

(3)

выражающую собой теорему Лагранжа: частная производная энергии деформации по перемещению равна силе.

Для линейно упругого тела зависимость между силами и перемещениями является линейной. Наиболее простым выражением для потенциальной энергии является квадратичная формула

(4)

где - постоянные коэффициенты упругой жёсткости тела.

На основании (3) и (4) получаем систему уравнений обобщённого закона Гука:

(5)

которые связывают силы с перемещениями.

В развёрнутом виде закон (5) имеет вид

где коэффициенты зависят от размеров тела. Поэтому они не являются упругими постоянными материала.

На основании (5) выражение (4) для потенциальной энергии можно записать в виде

(6)

Коэффициенты в (5) симметричны. По теореме Лагранжа (3)

Из условия независимости смешанной второй производной от потенциальной энергии получаем .

Приведём пример применения теоремы Лагранжа к нелинейной упругой системе.

Потенциальная энергия двух растягиваемых стержней (рис. 12.4):

Рис. 12.4

В силу закона Гука

Из рис. 12.4 следует перемещение

Так как то

Следовательно, потенциальная энергия:

может быть выражена через перемещение . Поскольку условия для использования формулы Лагранжа соблюдены, получаем:

Принцип возможного изменения сил и формула Кастилиано

Рассмотрим упругую консольную балку под действием силы Р (рис. 12.5).

А) б)

Рис. 12.5

Рассмотрим упругую консольную балку под действием силы Р (рис. 12.5). Концевое сечение балки совершит действительное перемещение . Опорные реакции будут: , .

Предположим, что сила Р получила возможное (воображаемое) приращение называемое вариацией силы Р. При этом все действительные перемещения балки, в т.ч. , остались неизменными, а реактивные силы изменились на величины . При этом за счёт воображаемого изменения силы изменилась потенциальная энергия балки на величину

(7)

Так как

(8)

то, приравнивая (7) и (8), получаем формулу Кастилиано:

Пусть теперь мы имеем упругое тело произвольной формы под действием произвольной системы внешних сил P_i (i=1,2,...,n) (рис. 12.5,б), которые на перемещениях в их направлениях произведут действительную работу:

Она полностью переходит в потенциальную энергию тела U, создаваемую внутренними силами, зависящими от внешних сил Р_i. Поэтому в данном случае мы можем считать, что потенциальная энергия тела зависит от внешних сил:

Предположим, что произошло возможное изменение внешних сил . Тогда изменится и внутренняя энергия тела:

(9)

При обратном приложении сил Р_i их вариации на действительных перемещениях совершают элементарную дополнительную работу:

(10)

Она перейдёт в возможное изменение внутренней потенциальной энергии (10), т.е.

(11)

Заменяя в (11) его выражением (9), находим:

откуда в силу произвольности вариаций получаем формулу Кастилиано:

(12)

которая выражает собой теорему Кастилиано для линейных упругих систем: частная производная от потенциальной энергии деформации по обобщённой силе Р_i равна обобщённому перемещению в направлении действия силы.

Если принять для потенциальной энергии выражение в виде квадратичной формы:

то, согласно (12), получим обобщённый закон Гука для перемещений и сил:

(13)

или в развёрнутой форме:

где коэффициенты носят название коэффициентов упругого влияния или податливости. Они не являются упругими постоянными материала данного тела, т.к. зависят от размеров тела.

На основании (13) выражение потенциальной энергии может быть записано в виде (6). Покажем, что коэффициенты в (13) обладают симметрией, т.е. . По теореме Лагранжа (3)

Из условия независимости второй смешанной производной от функции потенциальной энергии получаем .

Приведём пример применения теоремы Кастилиано. Потенциальная энергия упругой однопролётной балки длиной с шарнирным закреплением краёв и сосредоточенной поперечной силой посередине пролёта равна:

По формуле (12) находим:

Формула (12) Кастилиано пригодна только для упругих линейных систем. Рассмотрим теперь нелинейное упругое тело. Пусть потенциальная энергия деформации выражена через перемещения . Образуем функцию

называемую дополнительной работой или потенциальной энергией сил. Проварьируем её:

Так как по теореме Лагранжа (3) то получаем:

(14)

Предположим, что функция Ф выражена только через внешние силы:

тогда

Заменяя левую часть (14) полученным выражением, находим:

откуда в силу произвольности получаем:

(15)

Эта формула (15) выражает собой теорему Кастилиано для нелинейно упругого тела: частная производная от дополнительной работы по силе равна перемещению в направлении этой силы.

Термин «дополнительная работа» легко понять из рис. 12.6, на котором заштрихованная область изображает работу внутренних сил, т.е. потенциальную энергию деформации.

А) б)

Рис. 12.6

Дополнительная работа Ф представляет собой площадь, дополняющую U до прямоугольника. Иногда её называют работой или энергией сил.

Определение напряжений и перемещений в витых пружинах

Одним из простых примеров применения теоремы Кастилиано (12), (15) к определению перемещений является расчёт винтовой пружины.

А) б)

Рис. 12.7

Винтовая, или витая, пружина – это пространственно изогнутый стержень (рис. 12.7, а). На рис. 12.7, б показана отсечённая часть пружины с углом подъёма витка . Приведём, направленную по оси пружины силу Р к центру тяжести сечения. В результате получим вектор-момент . Разлагая его на направление касательной к винтовой линии и перпендикулярное направление, найдём крутящий и изгибающие моменты: