Определение центра тяжести сечения и положения центральных осей

Геометрические характеристики сечений

§1. Моменты инерции простых фигур

Рис. 1

При решении задач Строительной механики появляется ряд коэффициентов, выраженных в интегральной форме, которые не имеют явно выраженного физического смысла как, например площадь сечения или объем тела. Одно такое выражение ранее назвали статическим моментом площади. Подынтегральные выражения здесь представляются в виде произведения площади на расстояния до осей. Здесь вводится новое понятие, интегральная функция, в которой подынтегральное выражение представляются в виде произведения площади на квадраты расстояния до осей. Вот эти выражения.

Интеграл вида

(1)

называется моментом инерции сечения относительно оси у, а выражение

(2)

называется моментом инерции сечения относительно оси z.

	(3)

центробежный момент инерции сечения относительно осей y и z, а

(4)

полярный момент инерции.

Поскольку r2=y2+z2 , то

(4a)

здесь переменные y, z, r - координаты цента тяжести площади элемента dA.

Единица измерения момента инерции: длина в четвертой степени (см⁴ , м⁴).

Все эти интегралы появляются как некоторые обобщенные коэффициенты пропорциональности при определении напряжений и деформаций при изгибе и кручении. Они не имеют физического смысла, но имеют аналогию по форме записи с выражением инерции массы, отсюда их название "моменты инерции сечения".

Вычислим моменты инерции некоторых сечений

1. Прямоугольник

Рис.2

Определим моменты инерции прямоугольника (рис.2) относительно осей z и у Вырежем полоску параллельно оси у высотой dz и вычислим интеграл (1), учитывая что

dA=b×dz

(5)

Рис. 3

Для вычисления интеграла (2) очевидно полоску нужно вырезать параллельно оси z (рис.3) и подставить dA=h×dy

(6)

Вычислим центробежный момент инерции (3). По определению центробежный момент инерции это интеграл от произведения элементарной площадки на расстояния до осей и поэтому

((7)

Вычислим те же моменты инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести (центральных осей) (рис.4).

Рис.4

По аналогии

(8)

(9)

(10)

Центробежный момент может быть отрицательным, а осевые моменты инерции всегда положительные. Этоследует из самих интегралов: четные и нечётные степени переменных интегрирования.

2. Прямоугольный треугольник

Рис.6

Как и в предыдущей задаче вырежем полоску высотой dz (рис.6b) и найдем её площадь

dA=b_z_×dz

b_z - ширина полоски определится из подобия треугольников

b_z./b = (h-z)/h Þ b_z= b×(h-z)/h

dA = b×(h-z)/h×dz.

В соответствии с (1)

((12)

Аналогично, вырезая полоску параллельно оси у, получим

(12,a)

Для центробежного момента инерции следует иметь ввиду, что координата центра тяжести элементарной площадки y=b_z/2.

(13)

Для центральных осей (рис.6,с)

b_z/b= (2h/3-z)/h Þ b_z=b×(2h/3-z)/h

dA = b×(2h/3-z)/h×dz

(14)

по аналогии

((15)

Для определения центробежного момента инерции относительно центральных осей воспользуемся координатами центра тяжести элементарной площадки dA: z и y=b_z/2-b/3, где b/3 - смещение новых осей относительно старых по оси y.

(16)

Обратите внимание! Центробежный момент инерции отрицательный, когда большая часть площади треугольника при центральных осях находится в квадрантах с разнозначными ветвями осей, а это происходит тогда, когда по гипотенузе опускаемся от положительного конца ординаты к положительному концу абсциссы или от отрицательного конца абсциссы к отрицательной ветви ординаты.

Круг

Рис. 7

Вычислим полярный момент инерции (4) круга (рис. 7). Выделим элементарную площадку в виде кольца шириной dr

dA=p(r+dr)²-pr²=p(2rdr+dr2)=2prdr,

так как

dr2<<rdr.

(17)

Тогда

(6.18)

Для круга очевидно I_z=I_y,учитывая (17) и (4a), найдём:

4.Моменты инерции четверти круга

1. Моменты инерции относительно осей Y,Z

Рис.8

;

Подставляются пределы интегрирования:

Из (6.18) следует

В первой и третьей четверти центорбежные моменты инерции положительные, во второй и четвёртой отрицательные и тогда суммируя их, получим центробежный момент инерции круга Он равен нулю.

2. Моменты инерции относительно центральных осей Y_c,Z_c

Рис .8а

Подставляются пределы интегрирования:

3. Момент инерции относительно осей Y₂, Z₂

переходя к пределам интегрирования, получаем

§2. Моменты инерции сложных сечений

Выражения значений моментов инерции могут быть получены для достаточно простых фигур (рис.2-8). А как быть, если сечение представляет более сложную фигуру?

Рассмотрим сечение (рис.6.8) и вычислим осевой момент инерции относительно ост Y.

Рис.9

Представим сечение в виде совокупности простых сечений, площади и моменты инерции которых легко определяются

Пусть ,

тогда учитывая свойства определенного интеграла, запишем

Но каждый из интегралов - это момент инерции какой-то фигуры, составляющей часть сечения, следовательно

(19)

§3. Моменты инерции сечений относительно параллелельных осей

Рис.10

Пусть имеется две пары координатных осей Y₁О₁.Z₁ и Y_IIО_II.Z_II (рис.6.10) координаты центра О₂. в системеy_IO_Iz_Iравны:

Координаты точки К в системе y_IО_I.z_I: {y1,z1.}

y₁₂.=a;z₁₂=b

(20)

в системе y_IIО_IIz_II:.{y2, z2.} с учетом (6.20)

y₂=y₁-a; z₂=z₁-b.

(21)

Моменты инерции в системе .y_IIО_II.z_II

I_y2=ò (z₂)2dA I_z2=ò (y₂)2dA.

Подставим (6.21)

(22)

где - статический момент сечения. Пусть оси y_IО_I.z_Iбудут центральными, тогда S_y1.=0 и

(23)

или

(24)

Обратите внимание: момент инерции относительно центральной оси (24) всегда меньше момента инерции относительно любой другой ей параллельной (23); поскольку по определению I_y₁.>0 из (6.24) также следует что I_y₂.> b²×A.

Для других моментов инерции:

;

(25) (26)

и если оси y_IО_I.z_I являются центральными осями, то

	(27)
	(28)
	(29)
	(30)

Из анализа результатов этого параграфа можно сделать такой вывод:

Для определения момента инерции сечения относительно любой оси необходимо знать соответствующие моменты инерции этого же сечения относительно центральной оси, параллельной заданной.

§4. Момент инерции относительно повернутых осей

Рисунок 12

Рассмотрим две пары координатных осей, имеющих общее начало и развернутые относительно друг друга на угол a против часовой стрелки (рис.12). Определим координаты точки K в системе координат Y_aOZ_a_{(показаны зелёным цветом)}, если ее координаты в системе YOZ соответственно равны y_k, z_k.

Очевидно, что yak.=KP=OD=OC+CD; из треугольника OAC имеем OC=OA/cosa=yk/cosa; из треугольника CDKÞCD=KC×sina. Определив из треугольника OAC значение CA, получим KC=KA-CA =z_k.-y_k×tga. Подставим полученные значения в выражение для y_ak, найдем

y_ak.=y_k/cosa+(z_k.-y_k×tga)×sina=(y_k-y_k×sin²a+z_k×cosa×sina)/cosa= =(y_k×cos²a+z_k×cosa×sina)/cosa =y_k×cosa+z_k×sina

 (32)

Для другой координаты имеем

z_ak=OP=KD=KC×cosa=(z_k.-y_k×tga)×cosa=z_k×cosa-y_k×sina (33)

(

Тогда запишем

(34)

Аналогично

(35)

(36)

Обратите внимание! (34,35,36) дают значение моментов инерции относительно осей повернутых к исходным на угол против часовой стрелки.

Если сложить (34) и (35), то получим доказательство инвариантности суммы моментов инерции относительно любых осей, проходящих через заданную точку

(37)

§5. Главные моменты инерции

Из уравнений (34) и (35) очевидно, что . Меняя угол a, можно получить бесконечное множество пар моментов инерции относительно осей, проходящих через один центр. При этом соблюдается соотношение (37), а значит один момент инерции увеличивается, а другой уменьшается. Поскольку все осевые моменты инерции положительные по определению, то можно предположить, что среди пары моментов инерции есть такая, у которой один момент инерции имеет наибольшее, а другой наименьшее значение, т.е. имеет место соотношение:

Imax.+Imin=Iy+Iz

(38)

В уравнениях (34,35) в правой части только одна переменная a, а функции I имеют экстремум. Условие экстремальности запишутся следующим образом:

(39)

Из этих условий определим угол a, при котором осевые моменты инерции принимают экстремальные значения. Если такой угол существует, то оба соотношения дадут одинаковые значения для угла.


	(40)

	(41)

Значение совпали, значит, угол поворота осей, относительно которых моменты инерции достигают экстремума существует.

Оси, относительно которых моменты инерции имеют экстремальные значения, называют главными.

Из (40) и (41) следует:

(42)

где a₀ - угол, определяющий положение главных осей в системе координат YOZ.

Сравните левую часть выражений (40) и (41) с правой частью (36). Они одинаковые. Следовательно, относительно главных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю.

Iy₀z₀ = 0

(43)

Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то их называют главными центральными осями инерции.

Выражения (40, 41, 42) никак не связаны с положением начала координат. Следовательно, для каждого сечения можно построить как угодно много главных осей (для каждого начала координат). Однако эти оси не будут параллельны между собой.

Действительно. Пусть в системе координат с началом в точке O моменты инерции имеют значения Iy, Iz и Iyz, а положение главных осей определяется соотношением (42).

Перейдем от системы YOZ к параллельной центральной системе координат Y₁O₁Z₁. Координаты точки O₁в системе координат YOZ - a и b. Тогда моменты инерции для новых осей определяются соотношением (6.24), (6.25) и (6.28). Подставив эти значения в формулу (6.42), получим значение угла поворота главных осей в системе Y₁O₁Z₁, как функцию параметров системы YOZ.

(44).

Очевидно, что результаты (42) и (44) не одинаковые и следовательно

Таким образом для главных моментов инерции из (34 и 35) получим следующие выражения:

	(45)
	(46)

Если в (36) моменты инерции в правой части главные, то есть

Iy=Imax.; Iz=I_min; I_yz.=0,

то тогда центробежный момент для любых осей, повернутых относительно главных на угол a будет определяться соотношением:

((47)

§6. Радиусы инерции

Выражения

(48)

называют радиусами инерции.

Рис. 6.13

Если Y и Z главные оси инерции, то и радиусы инерции тоже главные. На главных радиусах инерции можно построить эллипс инерции, рассматривая их как полуоси. При этом радиус - полуось iy. перпендикулярен к оси Z, а радиус-полуось iz.- соответственно оси Y.

Эллипс инерции, построенный на главных полуосях, имеет несколько прикладных значений:

можно показать, что момент инерции относительно любой центральной оси U равен

Iu=iu2×A,

(49)

где iu - расстояние от начала координат до касательной к эллипсу параллельной оси U.

Большая ось эллипса показывает, как надо располагать сечение изгибаемого элемента по отношению к действующим силам. Как станет ясно в дальнейшем, при изучении плоского изгиба, ось должна располагаться в плоскости действия сил.

Рис. 14

Пример 1

!!! Обратите виманиена оси координат. В примере ось Y принята вертикпльной.

Для сечения (рис.14), состоящего из равнобокого уголка N 2.8, равнобедренного треугольника со стороной равной длине полки уголка и полукруга с радиусом равным стороне треугольника найти главные моменты инерции.

Для решения задачи применяется следующий алгоритм

1. Определение положения центра тяжести сечения.

1.1. Запишем координаты центра тяжести каждой простой фигуры и построим для них центральные оси (рис.6.15):

для треугольника координаты центра тяжести О₁ относительно катетов имеют следующие значения:

y₁=2.8/3=0.933см z₁=2.8/3=0.933 см ;

для уголка координаты центра тяжести О₂ определяются из сортамента прокатных профилей

y₂= z₂ =0.8 см

для полукруга координаты центра тяжести О₃ относительно осей совпадающих с диаметрами

Рис. 15

1.2. Найдем площади фигур

треугольника

A₁=2.8×2.8/2=3.92 см²

уголка (по сортаменту)

A₂=1.63 см²

полукруга

A₃=p×r²/2==p×2.8²/2=12.3 см²

площадь всего сечения

A=A₁+A₂+A₃=3.92+1.63+12.3=17.85см²

1.3. Определяем центр тяжести сечения, используя известные формулы из механики абсолютно твердого тела.

где z и y координаты в осях Z₃ и Y₃ - глобальной системы координат. Из принятых обозначений следует, что за глобальную систему координат приняты центральные оси полукруга.

Координаты центров тяжести фигур в этой системе координат определятся так

для треугольника:

y₁₃=y₁+y₃=0.933+1.19=2.12 см; z₁₃=-z₁+z₃=-0.933+0=-0.933 см

для уголка

y₂₃=y₂+y₃=0.8+1.19=1.99 см; z₂₃=z₂+z₃=0.8+0=0.8 см

для полукруга

y₃₃=0; z₃₃=0

Теперь вычислим статические моменты сечения:

тогда

z₀=-2.36/17.86=-0,132см; y₀=11.58/17.86= 0,648см.

Построим центр тяжести сечения O и проведем через него центральные оси сечения Z и Y (рис.15)

2. Определение центральных моментов инерции сечения

2.1. Определим центральные моменты инерции каждой фигуры в собственной центральной системе координат, то есть запишем табличные значения этих параметров.

Для треугольника в соответствии с формулами (14, 15, 16)

Для уголка определим по сортаменту:

центральные моменты инерции:

I_y2=I_z2=1.16 см⁴

главные моменты инерции:

I_zo₂= I_max=1.84 см⁴.

Из инвариантности моментов инерции (38)

I_min=1.16+1.16-1.84=0.48 см⁴.

Поскольку уголок равнобокий, то центральные оси инерции Y₂ и Z₂ повернуты относительно главных на угол a=45°. Тогда центральный центробежный момент инерции равен в соответствии с соотношением (47)

здесь знак минус принят потому, что оси Y₂и Z₂ повернуты относительно осей Y_O₂ и Z_O₂ по часовой стрелке (см. замечание выше §4). Отрицательное значение момента инерции очевидно и потому, что большая часть площади уголка находится в квадрантах с разнозначными ветвями координатных осей.

Для полукруга в соответствии с формулой (19) момент инерции относительно оси совпадающей с диаметром полукруга будет равен половине момента инерции круга относительно той же оси

тогда I_y3=24.09 см⁴, а для определения момента инерции относительно оси Z₃ воспользуемся соотношением (24) или (6.28).

центробежный момент полукруга относительно центральных осей равен нулю, так как они совпадают с его главными осями.

2.2. Определим координаты локальных систем координат каждой фигуры в центральной глобальной системе координат Z и Y

Расстояние между осями Y_j и Y

b_j=z_j-z₀.

Расстояние между осями Z_i и Z

a_j=y_j-y₀_.

подставив в эти соотношения ранее найденные значения координат, получим

b₁=-0.933-(-0.132)=-0.801 см	a₁=2.12-0.647=1.47см
b₂= 0.800-(-0.132)= 0.932 см	a₂=1.99-0.647=1.34см
b₃= 0.000-(-0.132)= 0.132 см	a₃=0.00-0.647=-0.647см

2.3. Вычисление центральных моментов инерции сечения:

По формулам (23, 27, 29 и 19)) находим:

4. Вычисление главных моментов инерции.

Воспользуемся уравнениями (45 и 46)

3. Определение положения главных центральных осей инерции.

По формуле (42)

тогда 2a₀= -54,77°Þa₀= -27.38°

Построим главные центральные оси инерции U и V, повернув центральные оси по часовой стрелке так как угол a₀ меньше нуля, а мы использовали уравнение для случая, когда положительный поворот происходит против часовой стрелки

Рисунок 16

5. Определение радиусов инерции.

В соответствии с уравнениями (48)

Рис.17

Отложим радиусы перпендикулярно осям, с названием соответствующем индексу радиуса и построим эллипс инерции сечения

Из рисунка 17 следует, что балку надо располагать так, чтобы плоскость действия сил совпадала с плоскостью, в которой лежат ось U и продольная ось балки. При загрузке возрастающей центральной сжимающей силой, длинная стойка, имеющая сечение (рис.17) изогнется в направлении оси V. (происходи потеря устойчивости стойки).

Пример 2.

Построить эллипс инерции и определить моменты инерции относительно произвольных центральных осей.

Данные

Двутавр № 40. Из сортамента взяты следующие величины:

Высота 40см, ширина полки 15,5 см.

Площадь сечения А₁=72.6 см²

Обратите внимание на соответствие ориентации профиля в задаче и сортаменте

Треугольная пластина .

вычислим параметры, аналогичные параметрам для двутавра.

Рис. 18

Обратить внимание на знак центробежного момента инерции треугольника. В данном случае он положительный, так как в первом и третьем квадранте находится примерно две трети площади треугольника.

2.2. Площадь сечения