Дисперсія, різні оцінки швидкостей
Електромагнітні хвилі та коливання.
Гармонічні хвилі
У більшості випадків електромагнітне поле змінюється в часі за гармонічним законом (тобто за законом косинуса або синуса, різниця між якими лише у різниці фаз на 
).
Основні визначення розділу:
1). Період(Т) – це проміжок часу, протягом якого точка хвилі проходить шлях між однойменними точками. Розмірність [c], (секунда).
2). Довжина хвилі ( 
) – це відстань, яку проходить сигнал за час одного періоду. Розмірність [м], (метр).
3). Частота( f ) – це величина, яка показує кількість змін поля протягом часу, який рівний одному періоду. Розмірність [Гц], (герц). [Гц]=1/[с].
Нехай маємо скалярну функцію u від однієї координати z і часу t. Тоді для плоскої однорідної хвилі в недеформуючому середовищі можна записати:
,
де v – швидкість поширення хвилі.
Для гармонічної хвилі:
, де k= w/v=2 pf/v – хвильове число;v– фазова швидкість.
Просторовий період називають довжиною хвилі 
, тобто 
. Отже:
|
, [1/м] (5.1)
Тоді 
. (5.2)
Поширення гармонічної хвилі відображається зміщенням косинусоїди вздовж осі z зі швидкістю v.
(1) Розглянемо випадок формування стоячої хвилі. Нехай назустріч один одному поширюються дві хвилі, для яких справедливо:
Якщо 
і 
, тоді:
– це стояча хвиля, в якій амплітуда залежить від z. В кожний момент часу ми маємо нерухому косинусоїду, нулі якої не зміщуються вздовж осі Z, а залишаються фіксованими. Тут ці нулі називаються вузлами, а середні значення між ними – пучностями стоячої хвилі.
|
|
|
(2) Використаємо метод комплексних амплітуд, для якого:
(5.3)
Введемо позначення:
,
тобто: 
– це 
при 
. Тоді 
.
В рамках методу комплексних амплітуд, хвильові числа можуть бути комплексними, тобто:
, тоді 
. (5.4)
При 
– затухаюча хвиля, тому 
– коефіцієнт затухання, 
– коефіцієнт фази. Коефіцієнт затухання – показує, як зменшилася амплітуда електромагнітної хвилі на кінці відрізку у порівнянні з його початком. Коефіцієнт фази – показує зміну фази при поширенні електромагнітної хвилі вздовж напряму Z. Тоді відношення амплітуд 
показує, в скільки разів зменшилась амплітуда затухаючої хвилі на шляху l. Але оскільки потужність прямо пропорційна квадрату амплітуди, тому частіше розглядають таке відношення: 
. Ці відношення логарифмують і отримують величину L, яку називають затуханням і яка вимірюється в неперах [Нп] або децибелах [дБ].
Для зменшення плутанини при розрахунках наведемо визначення кожної із цих величин:
1). Затухання в один непер [Нп] відповідає зменшенню потужності в е разів, а струму і напруги в 
разів:
|
|
|
. (5.5)
2). Затухання в один бел [Б] відповідає зменшенню потужності в 10 разів, а струму і напруги в 3.17 разів.
. (5.5а)
3). Затухання в один децибел [дБ] характеризує зміну потужності в ~1.26 раз, а струму і напруги в ~1.12 разів:
. (5.6)
тоді
. [дБ] (5.7)
Якщо хвильовий характер мають компоненти деякого вектора, то це – векторна хвиля. В загальному випадку:
. (5.8)
Тоді поверхня постійної фази 
– це є поверхня фронту, яка в загальному випадку може мати будь-яку форму, тобто бути неплоскою. Якщо на поверхні фронту амплітуда: 
, то хвиля є неоднорідною. Неплоска і неоднорідна хвиля може бути локально плоскою і локально однорідною. Це значить, що частина фронту, що розглядається досить близька до елементу площини.
Плоскі електромагнітні хвилі
Плоскою електромагнітною хвилею називають таку хвилю, вектори якої в кожен момент часу приймають постійне значення на системі паралельних площин. Таким чином, якщо вибрати вісь z перпендикулярною до цих площин, то в монохроматичній плоскій хвилі комплексні амплітуди полів 
i 
будуть залежати тільки від координати z, але не від координат х і у.
|
|
|
Розглянемо однорідне ізотропне середовище без втрат ( 
), в якому відсутні сторонні струми. Нехай ЕМ-поле залежить тільки від координати z. Тоді перші два рівняння Максвелла набудуть наступного вигляду:
та 
. (5.9)
З виразів (3) та (6) випливає, що поздовжні компоненти поля рівні нулю: 
. А це означає, що електромагнітне поле має лише поперечні компоненти. Рівняння, які залишилися, діляться на дві групи, одна з яких містить 
і 
, а інша – 
і 
, тобто ці дві системи можна розв’язувати окремо, незалежно від іншої.
Продиференціювавши (5) по z та із врахуванням (1) отримаємо:
, – хвильове рівняння (5.10)
де 
– хвильове число; 
– показник заломлення (оптична густина) середовища; 
– швидкість світла у вакуумі; 
– швидкість світла в середовищі. Тоді довжина хвилі в середовищі: 
.
В загальному випадку рішення хвильового рівняння (5.10) виглядає так:
|
|
|
, (5.10а)
де 
і 
– довільні постійні. Підставивши цей розв’язок у (5), знайдемо напруженість магнітного поля: 
, (5.11)
де 
– характеристичний (хвильовий) опір середовища, який для вакууму: 
. Тоді для довільного середовища: 
.
Поклавши 
і перейшовши від комплексних амплітуд до миттєвих значень напруженості поля, отримуємо: 
. (5.12)
З отриманої відповіді випливає, що фронт хвилі плоский: z=const. Знайдене рішення описує плоску однорідну хвилю. Швидкість переміщення фронту хвилі, тобто фазову швидкість знайдемо так. Для цього зафіксуємо: 
. Продиференціюємо це за часом: 
. Звідки фазова швидкість:
, (5.13)
тобто для плоскої однорідної хвилі фазова швидкість співпадає зі швидкістю світла у даному середовищі. Очевидно, що при 
отримаємо хвилю, яка поширюється з тією ж швидкістю у зворотньому напрямку z. Цю хвилю називають відбитою, а першу – падаючою.
Права трійка векторів 
, 
і 
показана на рисунку, звідки видно, що хвиля є поперечною. На рис. знизу представлений миттєвий знімок розподілення поля, що відповідає формулам (5.12). Така електромагнітна хвиля, для якої складові векторів напруженості електричного і магнітного полів коливаються лише у площині, перпендикулярній напрямку поширення (тобто поздовжні складові поля відсутні), називається поперечною хвилею і коротко позначається Т-хвиля (від англійського слова transverse – поперечний). Обчислимо вектор густини потоку енергії, що переноситься хвилею (так званий вектор Умова-Пойнтінга). Легко бачити, що:
тобто, енергія поширюється вздовж осі z. Густина енергії ЕМ-поля:
– якщо втрати відсутні.
Тоді швидкість переносу енергії рівна:
, (5.14)
оскільки 
, тому енергія переноситься з властивою даній хвилі фазовою швидкістю.
Дисперсія, різні оцінки швидкостей
Властивості середовищ, в яких поширюються реальні електромагнітні процеси, завжди є в тій чи іншій мірі частотно залежними, тобто 
і 
. Тому повинна залежати від частоти і фазова швидкість ЕМ хвиль. Така залежність параметрів поширення хвилі від частоти називається дисперсією.
Групова швидкість. Реальні сигнали містять багато гармо-нічних складових з різними частотами. Сигнал має спектр, тому напруженості ЕМ поля можуть бути представлені інтегралом Фур’є:
,
де 
– групова швидкість.
Групова швидкість – це швидкість поширення огинаючої сигналу, якщо залежність фазової швидкості від частоти є достатньо малою (див. рис).
В протилежному випадку частотні складові мають різні швидкості, що приводить до спотворення форми огинаючої. Тоді простежити за переміщенням якої-небудь точки на цій огинаючій неможливо, тобто „швидкість поширення сигналу” втрачає сенс.
Можна показати, що при відсутності втрат групова швидкість співпадає зі швидкістю переносу енергії. Це твердження є справедливим і в тому випадку, коли втрати малі і слабо залежать від частоти. Але, якщо втрати великі, то швидкість 
може відрізняється від 
, причому остання може інколи перевищувати швидкість світла. При цьому поняття групової швидкості втрачає фізичний зміст.
Групову швидкість плоскої однорідної хвилі можна знайти за такою формулою:
.
Таке співвідношення називають формулою Релея. Із цього співвідношення слідує, що фазова і групова швидкості можуть бути різними не тільки за значенням, але і за знаком. Зв’язок між фазовою і груповою швидкостями може бути ще представлений такою формулою: 
, де 
– хвильове число. Тому можна зробити висновок, що 
може бути як більше, так і менше фазової, але завжди < c.
Розрізняють наступні види дисперсій:
– позитивна дисперсія – коли напрямки поширення і співпадають;
– негативна дисперсія – коли напрямки поширення і протилежні;
а за знаком похідної фазової швидкості:
– нормальна дисперсія – якщо 
.
– аномальна дисперсія – якщо 
.
Виходячи з рівності (5.17) можна зробити висновок, що негативна аномальна дисперсія неможлива, оскільки: 
.
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 64; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!