Алгоритм построения ЛАХ последовательного соединения типовых звеньев
ПОСТРОЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СОЕДИНЕНИЙ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Для анализа и синтеза СУ широко используются частотные характеристики. Частотная область обладает высокой информативностью в плане выявления зависимости свойств и показателей качества СУ от операторов отдельных звеньев и значений их параметров.
В подразд. 2.5 приведена типовая структура одноконтурной СУ с единичной отрицательной обратной связью. Будем считать, что прямой канал передачи управляющего воздействия образован последовательным соединением типовых звеньев, рассмотренных в разд. 3. Ряд важных свойств замкнутых СУ может быть выявлен при анализе и сформирован при синтезе по частотным характеристикам разомкнутых систем, то есть по оператору прямого канала без обратной связи.
Целью данного раздела является описание процесса построения ЧХ СУ без использования компьютера, так как это позволяет установить влияние оператора каждого звена на вид ЧХ и, в конечном счете, на свойства всей СУ.
Логарифмические ЧХ последовательного соединения типовых звеньев
Рассмотрим последовательное соединение нескольких звеньев, операторы которых заданы передаточными функциями. Как сказано в подразд. 2.5, ПФ такого соединения определяется как произведение ПФ всех звеньев.
Построение логарифмических ЧХ соединения основано на следующих двух положениях.
|
|
|
1. Используется то обстоятельство, что логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей. С учетом того, что ПФ звеньев являются комплексными дробно-рациональными функциями, отдельно ЛАЧХ разомкнутой системы есть сумма ЛАЧХ звеньев соединения; ЛФЧХ разомкнутой системы также есть сумма ЛФЧХ отдельных звеньев.
2. По асимптотическим ЛАХ отдельных звеньев может быть построена асимптотическая ЛАХ системы, а уточненная ЛАХ системы может быть получена путем учета поправок. При этом необходимо заметить, что в зависимости от решаемой задачи учет всех поправок может и не понадобится.
 |
Построим ЧХ СУ, структурная схема которой представлена на рис. 4.1.
Рис. 4.1
Прямой канал передачи управляющего воздействия представляет собой последовательное соединение типовых звеньев: пропорциональное W1(s) = K1 = 40, интегрирующее W2(s) = K2/s = 0.2/s, два апериодических звена W3(s) = K3/(T1s+1) = 5/(s+1), W4(s) = K4/(T2s+1) = 0.25/(s+1). В данном случае апериодические звенья имеют совпадающие постоянные времени T1 = T2 = 1 с.
Построение ЛАХ
На рис. 4.2. построены асимптотческие ЛАХ Li(w), i =1, 2, 3, 4 отдельно каждого звена, а также ЛАХ LP(w)последовательного соединения.
 |
Рис. 4.2
ЛАХ пропорционального звена L1(w) проходит параллельно оси частот на расстоянии 20lgK1 = 20lg40 = 20lg(10*2*2) = 20дБ + 6дБ + 6дБ = = 32дБ.
|
|
|
ЛАХ интегратора L2(w) представляет собой прямую с наклоном -20дБ/дек, которая пересекает ось частот при w = 0.2 рад/с.
Асимптотическая ЛАХ L3(w) апериодического звена с ПФ W3(s) слева от частоты сопряжения 1/T1=1 рад/с проходит параллельно оси частот на расстоянии 20lgK3 = 20lg5 = 20lg(10/2) = 20lg(10) - 20lg(2) = 20 дБ - 6 дБ = 14 дБ; справа от линии сопряжения имеет наклон -20дБ/дек.
Асимптотическая ЛАХ L4(w) апериодического звена с ПФ W4(s) слева от частоты сопряжения 1/T2=1 рад/с проходит параллельно оси частот на расстоянии 20lgK4 = 20lg(0.25) = 20lg((1/2)*(1/2)) = (- 6 дБ) + (- 6 дБ) = -12 дБ; справа от линии сопряжения имеет наклон -20дБ/дек.
Сумма этих четырех асимптотических ЛАХ LP(w) представляет собой асимптотическую ЛАХ разомкнутой системы, то есть ЛАХ последовательного соединения всех звеньев прмого канала. На рис. 4.2 приведена и уточненная ЛАХ LP(w) (тонкая линия). Максимальное значение поправки dL(wс) = 2*(-3 дБ) = -6 дБ.
Построение ЛФХ
ФЧХ пропорционального звена j1(w) = 0 во всем диапазоне частот.
ФЧХ интегрирующего звена j2(w) = -p/2 также во всем диапазоне частот.
ФЧХ обоих апериодических звеньев совпадают и имеют значение -p/4 на частоте сопряжения wc = 1/T1 = 1/T2 =1 рад/с.
|
|
|
Результирующая ФЧХ jP(w) для рассматриваемого примера представляет собой смещенную на -p/2 удвоенную характеристику апериодического звена с wc = 1 рад/с. На частоте сопряжения в данном случае имеем фазовый сдвиг jP(wc) = ( -p/2) + 2*(-p/4) = -p.
Алгоритм построения ЛАХ последовательного соединения типовых звеньев
Как следует из разд. 3 и подразд. 4.1, построение асимптотической ЛАХ последовательного соединения типовых звеньев сводится к суммированию на графике отрезков прямых линий с наклонами, кратными 20 дБ/дек.
Используем более эффективный способ построения ЛАХ последовательного соединения звеньев, который не требует построения ЛАХ отдельно каждого звена и последующего суммирования этих ЛАХ.
Для рассмотренного в подразд. 4.1. примера представим ПФ WP(s) = W1(s) W2(s) W3(s) W4(s) в следующем виде
. (4.1)
Основным в данном случае является то обстоятельство, что коэффициенты передач всех звеньев сосредоточены в одном (первом) сомножителе 10/s; оба апериодических звена имеют единичный коэффициент передачи. Очевидно, что результирующая ЛАХ от такого перераспределения параметров должна остаться без изменений.
Построим ЛАХ звеньев-сомножителей, представленных в (4.1) – см. рис. 4.3.
|
|
|
 |
Рис. 4.3
Проведем вертикальную штриховую линию сопряжения на частоте wc =1/T1 = 1/T2 =1рад/с. Заметим, что нахождение частот сопряжения позволяет оцифровать ось частот.
Построим ЛАХ первого сомножителя в (4.1). Для рассматриваемого примера первый сомножитель соответствует интегрирующему звену с коэффициентом передачи K = 10; его ЛАХ представляет собой прямую с наклоном -20дБ/дек, пересекающую ось частот при w =10. От левой границы частотного диапазона до частоты сопряжения wc этот участок ЛАХ проведем сплошной линией, а справа от wc до w =K=10 наметим ее штрихами – см. рис. 4.3.
Теперь построим ЛАХ звеньев 1/(s+1). Слева от wc асимптотическая ЛАХ этих звеньев проходит по оси частот, так как 20lg(1) = 0 дБ.
Очевидно, что характеристики апериодических звеньев с K =1 не изменят при суммировании построенную ранее характеристику интегратора на диапазоне w < wc. На диапазоне частот w > wc сформировавшийся наклон -20дБ/дек будет изменен на 2*(-20) дБ/дек. Продолжение вправо от wc прямой с наклоном -60дБ/дек образует результирующую асимптотическую ЛАХ всего соединения звеньев – см. рис. 4.3.
Сформируем алгоритм построения ЛАХ последовательного соединения любых типовых звеньев, позволяющий получить характеристику без предварительного построения и суммирования ЛАХ отдельных звеньев.
1. Оператор последовательного соединения звеньев приводится к следующему виду.
, (4.2)
n =…-2, -1, 0, 1, 2,… .
Первый сомножитель в (4.2) определит наклон низкочастотного участка ЛАХ (слева от крайней левой линии сопряжения).
При n = 0 имеем “статическую систему”; наклон низкочастотного участка ЛАХ будет равен 0 дБ/дек, то есть ЛАХ пройдет параллельно оси частот.
При n = 1 имеем “систему с астатизмом первого порядка”; наклон низкочастотного участка ЛАХ (будет равен -20 дБ/дек.
При n = 2 имеем “систему с астатизмом второго порядка”; наклон низкочастотного участка ЛАХ будет равен -40 дБ/дек.
Значениz n = -1 или n = -2 соответствуют наличию в соединении одного или двух идеальных дифференцирующих звеньев; наклон низкочастотного участка ЛАХ будет равен +20 дБ/дек или +40 дБ/дек.
2. На частотной оси помечаются частоты сопряжения; при этом оцифровывается вся шкала частот. Проводятся вертикальные штриховые линии сопряжения. Каждая линия помечается в соответствии со своей постоянной времени 1/T i или 1/tj. Важным фактором является четкое разграничение, принадлежит линия сопряжения постоянной времени T i знаменателя, или постоянной времени tj числителя ПФ.
3. Для диапазона частот w £ wc, min , то есть левее самой левой линии сопряжения, строится ЛАХ сомножителя (K/sn).
4. Далее построение результирующей ЛАХ производится от wc, min вправо, то есть в сторону увеличения частоты. Пересечение ранее сформированного участка ЛАХ с очередной линией сопряжения изменяет наклон ЛАХ на -20 дБ/дек, если линия сопряжения помечена 1/T i, или на +20 дБ/дек, если линия сопряжения помечена 1/tj. При этом необходимо иметь ввиду, что постоянные времени некоторых звеньев могут совпадать, как это имеет место в рассмотренном примере подразд. 4.1 и 4.2. В этом случае изменение наклона асимптотической ЛАХ будет иметь величину, кратную 20 дБ/дек.
Описанный способ в значительно меньшей степени подвержен возникновению ошибок при построении ЛАХ по сравнению со способом, основанном на построении ЛАХ отдельно каждого звена с последующим суммированием характеристик. Единственным требованием для получения достоверной результирующей ЛАХ является точное соблюдение кратным 20 дБ/дек величин наклонов отрезков асимптотической характеристики.
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 247; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!