Узловые уравнения установившегося режима
Рис. 3.7. Пример графа электрической сети |
Рассмотрим пример направленного графа электрической сети, изображенного на рис. 3.7. Для удобства записи в матричной форме параметров ветвей присвоим каждой ветви ее порядковый номер (на рис. 3.7 курсив). Составим матрицу соединений M для этого графа
Умножим эту матрицу на матрицу токов ветвей, будем иметь:
. | (3.10) |
Полученное соотношение является первым законом Кирхгофа в матричной форме записи
. | (3.11) |
Так как к узлам графа электрической сети еще присоединены другие поперечные ветви с ЭДС и проводимостью шунта, то задающий ток в (3.11) включает в себя также токи данных ветвей
. | (3.12) |
Здесь: JГ – матрица токов генерации (ветви с ЭДС), которые определяются через мощности генерации; JН – матрица токов нагрузки, которые определяются через мощности нагрузки (имеет обратное направление – от узла); JY – матрица токов в проводимости шунтов, которые зависят от проводимости шунта из матрицы YN и напряжения в узле из матрицы U (также имеет обратное направление – от узла, так как моделирует потребление мощности).
Умножим транспонированную матрицу соединений МT на матрицу узловых напряжений, получим:
(3.13) |
или
. | (3.14) |
По закону Ома в матричной форме записи имеем
. | (3.15) |
или
. | (3.16) |
Подставим в (3.11) выражение для матрицы токов ветвей (3.12) и затем (3.14), получим
|
|
. | (3.17) |
Введем обозначение
, | (3.18) |
тогда (3.17) приобретет вид
. | (3.19) |
Полученное соотношение является уравнением узловых напряжений (потенциалов) в матричной форме записи. Матрицу Y называют матрицей узловых проводимостей электрической сети. Рассмотрим структуру этой матрицы, для чего выполним матричные перемножения в (3.18). Заметим, что обратная матрица сопротивлений ветвей легко получается в силу своего диагонального вида – ее элементы суть обратные величины к сопротивлениям ветвей.
В начале перемножим первые две матрицы матричного произведения:
. | (3.20) | ||
Полученную матрицу умножим справа на матрицу MT. В результате получим:
. | (3.21) |
Из полученной матрицы можно сделать следующие выводы о вычислении ее элементов:
1) Элементы, расположенные на диагонали матрицы, вычисляются как сумма проводимостей ветвей, подходящих к соответствующему узлу:
, | (3.22) |
где Y ij – диагональный элемент матрицы Y;
Z j – сопротивление j-й ветви;
wi – множество номеров узлов, связанных с i-м узлом.
2) Недиагональные элементы равны проводимости ветви, имя которой состоит из номеров узлов, соответствующих номеру строки и номеру столбца, на пересечении которых находится данный элемент, и взятому с противоположным знаком. Матрица Y является симметричной матрицей.
|
|
. | (3.23) |
Запишем узловое уравнение для узла с номером i:
. | (3.24) |
Объединив подобные члены, получим, что в диагональные элементы матрицы Y войдут дополнительные слагаемые YNi:
, | (3.25) |
т. е. диагональный элемент будет равен сумме проводимостей всех подходящих к i-у узлу ветвей, включая поперечную ветвь – шунт YNi.
Задающие токи узлов в (3.19) будут состоять только из токов генерации и токов нагрузки.
В случае отсутствия связей с нейтральной плоскостью N система уравнений (3.19) не имеет единственного решения, так как в этом случае определитель матрицы Y равен нулю. Сумма всех задающих токов в такой сети равна нулю:
. | (3.26) |
Следовательно, среди всех n узлов можно выделить узел, например, с номером n, ток в котором равен:
. | (3.27) |
Для уравнений узловых напряжений это означает, что одно уравнение лишнее, т. е. зависит от остальных уравнений и может быть получено через сумму всех остальных уравнений. Так как ток в этом узле может быть получен из баланса токов в сети (3.27), то его называют балансирующим. Обычно это шины мощной электростанции или системы.
|
|
Таким образом, из системы (3.19) исключается одно уравнение и тогда получается система независимых линейных уравнений порядка n – 1. Однако, так как число неизвестных напряжений по-прежнему равно n, то в одном из узлов следует задать напряжение по величине и фазе, так, чтобы все напряжения вычислялись относительно этого известного напряжения. Такой узел в сети называется базисным. Обычно фазу напряжения базисного узла принимают равной нулю, т. е. вектор напряжения базисного узла совмещают с действительной осью. Остальные узлы называют независимыми узлами.
Во многих случаях балансирующий узел и базисный узел совмещают, и в дальнейшем будем считать, что это один и тот же узел.
Таким образом, с исключением уравнения для базисного балансирующего узла с номером n, будем иметь систему уравнений (3.19) с числом уравнений n – 1, однако в эти уравнения будет входить слагаемое с заданным напряжением базисного узла.
Изменим номер базисного балансирующего узла. Пусть его номер есть 0 (ноль). Тогда уравнение (3.19) приобретет следующий вид:
. | (3.28) |
где Y0 – матрица проводимостей ветвей, связывающих независимые узлы с базисным балансирующим узлом;
|
|
U0 – напряжение базисного узла (скаляр).
Матрица узловых проводимостей в (3.28) имеет порядок n – 1 и определятся через матрицу инциденций M, в которой нет одной строки, соответствующей балансирующему узлу.
Необходимо заметить, что во всех уравнениях, где одновременно присутствуют токи и напряжения: (3.15), (3.16), (3.17), (3.19), (3.24) и (3.28) напряжения даны в фазных значениях, хотя индекс (буква «ф») для простоты не записывался. Эти же уравнения можно считать записанными и для линейных напряжений, однако токи будут увеличенными в раз и для вычисления истинных токов их следует уменьшать в .
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 97; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!