Поздовжні та поперечні швидкості течії на повороті турбулентного потоку для випадку гладкого дна.
Аналіз гідравлічної структури потоку на повороті був проведений
І. Л. Розовським [1]. Він виходив із умови рівноваги окремих шарів рідини, яка рухається, легко знайти закон розподілу напружень тертя по вертикалі
, (18)
де 
– напруження тертя біля дна,
де 
- об’ємна вага води;
- глибина рівномірного потоку;
I – ухил;
- безрозмірна вертикальна координата.
З іншого боку, для плоского рівномірного турбулентного потоку, де 
, залежність приймає простий вид:
, (19)
Звідси отримуємо формулу для визначення коефіцієнта 
, (20)
тут 
– коефіцієнт Шезі;
– середня швидкість по вертикалі.
З формули (20) видно, що визначення коефіцієнта турбулентної в’язкості пов’язано із знаходженням похідної функції розподілу швидкостей по вертикалі, що не завжди може бути виконано з достатньою точністю; особливо неточним є графічне диференціювання. Звідси і виникають наявні в літературі суперечливі вказівки про характер розподілу коефіцієнта по вертикалі.
Поняття коефіцієнта турбулентної в’язкості першим ввів в гідравліку І. Буссінеск. Він і Х. Базен запропонували розподіл швидкостей по вертикалі приймати по закону квадратичної параболи
, (21)
де 
– швидкість на поверхні.
Вираз (21) має назву парабола Буссінеска – Базена. Параметр 
, який має розмірність 
, по даним Буссінеска і Базена, змінюється в межах 22 ÷ 24.
|
|
|
Якщо уклон виразити за допомогою формули Шезі
, (22)
то рівняння (21) приймає вид
, (23)
Знайдемо залежність між максимальною та середньою швидкостями
.
Звідси
, (24)
і формула (23) приймає вид
, (25)
Знайдемо тепер градієнт швидкостей по вертикалі
.
Підставляючи в формулу (21), отримуємо
(26)
Таким чином, розподілу швидкостей по вертикалі згідно із параболічним законом Буссінеска – Базена відповідає постійне по вертикалі значення коефіцієнта турбулентної в’язкості , яке залежить від середньої швидкості, глибини та коефіцієнта Шезі .
Кінематичний коефіцієнт турбулентної в’язкості визначиться із формули
(27)
Можна також ввести поняття числа Рейнольдса для турбулентного руху
|
|
|
. (28)
Для випадку, що розглядається
. (29)
Таким чином, "турбулентне число Рейнольдса" в даному випадку залежить тільки від коефіцієнта Шезі .
На основі статистичної обробки великої кількості епюр швидкостей в ріках та лабораторних лотоках А.В. Караушев запропонував залежність для розподілу швидкостей по вертикалі по еліпсу
. (30)
Параметр 
для області 
автор рекомендує визначати за формулою
; 
(31)
Пропускаючи ряд проміжних викладок наведемо результати І.Л.Розовського[1].
Розподіл поздовжніх осереднених швидкостей на вертикалі визначається наступною формулою
, (32)
де в ліву частину входить "недостача швидкості".
Де 
- середнє значення параметра логарифмічної формули для течії на повороті.
Формула (30) або (32), виражена через "недостачу швидкості", згідно з ідеєю її автора, однаково застосована до течії в потоках як з гладкими, так і з шорсткими поверхнями. Для швидкості 
, якщо прийняти до уваги формули (18) і (22), легко знайти вираз
|
|
|
. (33)
Тоді рівняння (33) прийме вигляд
. (34)
Знайдемо залежність між максимальною та середньою швидкостями
,
звідси
, (35)
і рівняння (33) прийме вигляд
. (36)
Приймаючи, що поворот потоку відбувається по плавній кривій, радіус кривизни якої значно більший глибини потоку, І.Л.Розовський провів наступні виведення. Основне рівняння руху потоку на повороті – це рівняння поздовжньої рівноваги потоку, яке виглядає наступним чином
(37)
де 
- поперечний ухил.
Спрощуючи зазначене рівняння І.Л.Розовський прийшов до вигляду
. (38)
Підставляючи 
, отримаємо
. (39)
Після інтегрування даного рівняння по 
, отримаємо
.
Підставляємо сюди значення 
з формули (29) і інтегруємо
. (40)
Ліва частина рівняння (40) є радіальною складовою напруження тертя
. (41)
|
|
|
Розглядаючи випадок, коли між швидкістю водного і граничного з ним повітряного потоку немає великої різниці (відсутність сильного вітру), ми повинні вважати тертя на вільній поверхні рівним нулю:
. (42)
З цієї граничної умови можна знайти сталу інтегрування
.
Підставляючи в рівність (40) значення константи і значення коефіцієнта турбулентної в’язкості 
із (36) та розв’язуючи рівняння відносно похідної, І.Л. Розовський отримав
.
Проінтегруємо отримане рівняння:
. (43)
Введемо позначення:
; (44)
. (45)
Взявши також перший інтеграл лівої частини рівняння (43) з врахуванням, що 
отримаємо
. (46)
Для визначення значення поперечного уклону поверхні води 
використаємо рівняння (0,1), яке являє собою залежність поперечного уклону від середньої швидкості потоку , радіуса заокруглення 
та напруження тертя біля дна 
.
Таким чином, можна зробити висновок, що
.
Для наближеного визначення величини розглянемо спочатку випадок гладкого дна. Як відомо, в верхній частині потоку радіальні складові швидкості спрямовані від центру, а в нижній – до центру повороту. Так як безпосередньо біля самого дна (якщо брати до уваги і ламінарний шар) швидкість і всі її складові рівні нулю, то профіль швидкостей по вертикалі повинен мати характер, показаний на рис. 2. При цьому повинна існувати така точка 
, для якої 
, а отже, і 
. Нехай відстань до даної точки від дна рівна 
. Напишемо умову рівноваги стовпчика висотою
. (47)
Звідси 
. Отже,
. (48)
Рис.2. Гранична умова для швидкості 
біля гладкого дна русла.
Таким чином, знаючи значення , можна оцінити напруження тертя . На основі виконаних дослідниками дослідів можна стверджувати, що для гладких стінок – досить незначна величина. В більшості випадків неможливо знайти помітного зменшення швидкостей по мірі наближення до дна.
Отже, при знаходженні поперечного уклону у випадку гладких стінок можна знехтувати впливом та прийняти наближене значення . При цьому ми допускаємо похибку, яка не перевищує 
. Коефіцієнт 
можна знайти з рівності
. (49)
Рис.3. Графіки функцій 
, 
і 
Підставляючи сюди значення із формули (35) та виконуючи відповідні перетворення, отримуємо
. (50)
Підставляючи цей результат в (46), після простих перетворень отримуємо
.
Введемо позначення
; 
.
Тоді рівняння приймає вигляд
. (51)
Враховуючи формули (44) і (45), можна для і отримати прості вирази:
; 
. (52)
Графіки для знаходження функцій і подано на рис.3.
На основі лабораторних дослідів можна в відомих межах приймати середнє значення параметра логарифмічної формули для течії на повороті 
. Тоді формула (51) приймає вигляд
. (53)
Формули (49) і (51) отримані автором, дають добру збіжність з даними лабораторних і натурних досліджень. Форма кривої розподілу швидкостей за рівнянням (53) при 
і 30 показана на рис.3.
Додаткові графіки можна взяти з книги І.Л.Розовського [1].
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 81; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!