Законы сохранения и изменения механической энергии системы
Рассмотрим изолированную систему материальных точек, в которой действуют только консервативные силы.
Состояние системы будет определяться ее конфигурацией и скоростями материальных точек, образующих систему. При переходе системы из одного состояния в другое, силы, приложенные к материальным точкам, совершают работу, которую мы снова обозначим через 
, считая, что индекс 1 относится к начальному состоянию системы (1), а индекс 2 – к ее конечному состоянию (2). Тогда работа может быть выражена двояким способом: либо через разность кинетических энергий
,
либо через разность потенциальных энергий
.
Из этих равенств имеем
. (3.26)
Сумма кинетической и потенциальной энергии называется ее полной механической энергией 
:
. (3.27)
Тогда равенство (3.26) принимает вид
, (3.28)
т.е. мы получаем, что полная механическая энергия изолированной системы, в которой действуют только консервативные силы, остается постоянной. Это положение называется законом сохранения механической энергии.
Рассмотрим теперь неизолированную систему и допустим, что среди внутренних сил имеются и силы трения (неконсервативные силы). Разобьем силы, действующие на материальные точки, на три группы:
|
|
|
1. силы внутренние консервативные
2. силы трения (внутренние неконсервативные)
3. внешние, вызванные воздействием со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему.
Тогда равенство (3.25) представим в виде:
.
Изменение же потенциальной энергии будет связано лишь с работой консервативных сил:
.
Из этих двух равенств получаем:
или
(3.29)
Из равенства (3.29) вытекает, что изменение полной механической энергии системы равно работе внешних сил и работе сил трения – это есть закон изменения механической энергии системы.
В основе закона сохранения энергии лежит однородность времени, то есть равнозначность всех моментов времени, заключающаяся в том, что замена момента времени 
моментом времени 
без изменения значений координат и скоростей тел не изменяет механических свойств системы. Поведение системы, начиная с момента , будет таким же, каким оно было бы, начиная с момента .
Работа силы трения и силы сопротивления среды, как правило, отрицательна. Поэтому при наличии этих сил полная механическая энергия системы уменьшается ( 
, см. формулу 3.29). Она переходит во внутреннюю энергию тел, что приводит к их нагреванию. Такой процесс называется диссипацией энергии (в переводе с латинского «рассеяние»). Силы, приводящие к диссипации энергии, называются диссипативными.
|
|
|
Соударение тел
Мы ограничимся рассмотрением центрального удара двух шаров. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры (рис. 3.6). Ясно, что после удара шары будут двигаться вдоль той же прямой.
Рассмотрим два предельных вида соударения – абсолютно неупругий и абсолютно упругий удар.
Рис. 3.6
Абсолютно неупругий удар
Это такой удар, в результате которого оба шара «слипаются» и дальше движутся как единое целое, при этом кинетическая энергия шаров частично или полностью превращается во внутреннюю энергию. Увеличение внутренней энергии приводит к нагреванию тел. При таком ударе выполняется только закон сохранения импульса, закон сохранения механической энергии не выполняется. Запишем закон сохранения импульса и закон сохранения энергии:
, (3.30)
, (3.31)
|
|
|
где 
и 
- массы шаров, 
и 
- скорости шаров до удара, 
- скорость шаров после удара, 
- количество теплоты, которое выделится во время удара.
Чтобы осуществить расчеты, нужно записать уравнение (3.30) в проекции
на ось 
. Сделаем это, например, для случая а) на рис. 6, когда шары движутся навстречу друг другу. Тогда
: 
.
Отсюда
,
подставив в уравнение (3.31), найдем величину внутренней энергии . Получим
. (3.32)
Абсолютно упругий удар
Это такой удар, при котором полная механическая энергия тел сохраняется. Сначала кинетическая энергия частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую и тела разлетаются с различными скоростями, которые определяются двумя законами сохранения: импульса и механической энергии. Напишем эти законы:
, (3.33)
. (3.34)
Найдем скорости шаров 
и 
после удара, скажем, для случая а) на рис. 3.6.
|
|
|
Тогда уравнение (3.33) примет вид:
: 
,
. (3.35)
Уравнение (3.34) преобразуем следующим образом:
(3.36)
Поделив (3.35) на (3.36), получим
(3.37)
Решая систему двух уравнений (3.35) и (3.37), получим
, 
(3.38)
Если массы шаров одинаковы: 
, то
, 
.
Следовательно, шары равной массы при центральном ударе обмениваются скоростями.
Задачи
Задача 1 Материальная точка массы 
= 0,1 кг начинает двигаться под действием силы 
. Найти работу, совершаемую силой над материальной точкой за время = 2,00 с от начала движения.
Решение
Ускорение материальной точки равно 
. Проинтегрировав это выражение по 
, найдем скорость точки:
.
Учитывая, что 
, найдем работу:
(Дж).
Задача 2 Потенциальная энергия частицы определяется выражением 
, где 
= 1,00 Дж/м2, а координаты выражены в метрах. Частица начинает двигаться из точки с координатами (3,00; 3,00; 3,00). Найти ее кинетическую энергию 
в момент, когда частица находится в точке с координатами (1,00; 1,00; 1,00).
Решение
Так как полная энергия остается постоянной, кинетическая энергия равна убыли потенциальной энергии:
; 
; 
.
Дж
Задача 3 Имеются два стационарных силовых поля: 1) 
; 2) 
, где и 
- постоянные. Консервативны ли силы этих полей?
Решение
Найдем работу силы каждого поля на пути от некоторой точки 1 
до некоторой точки 
:
1) 
;
,
2) 
;
.
В первом случае интеграл зависит от вида функции 
, т.е. от пути, поэтому первая сила неконсервативная. Во втором случае работа зависит только от начальной и конечной координат пути, следовательно, вторая сила консервативная.
Задача 4 Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости 
, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли ( 
= 6,37·106 м).
Решение
Минимальную скорость ракеты можно определить, зная ее минимальную кинетическую энергию 
. Согласно закону сохранения механической энергии можно написать:
,
, 
.
В конечном состоянии
, 
.
В результате
,
отсюда
Учитывая, что 
, перепишем ответ в виде:
,
что совпадает с выражением для первой космической скорости. Произведем вычисления:
м/с.
Задача 5 Шайба массой скользит без трения с высоты 
по желобу, переходящему в петлю радиусом (рис. 3.7). Определить:
1. силу давления 
шайбы на опору в точке, определяемой углом 
(см. рис.3.7)
2. угол 
, при котором сила давления равна нулю.
Решение
Рис. 3.7
Закон сохранения энергии:
,
: 
, 
,
.
Задача 6 Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Масса первого шара = 0,2 кг, масса второго = 0,1 кг. Первый шар отклоняют так, что его центр тяжести поднимается на высоту = 4,5 см, и отпускают. Удар абсолютно упругий. На какую высоту поднимутся шары после соударения.
Решение
Рис.3.8
Закон сохранения импульса и закон сохранения энергии:
,
,
где - скорость первого шара массой до соударения.
Найдем 
и 
- скорости шаров после удара.
;
.
Таким образом, скорости тел после упругого удара
.
Из закона сохранения энергии для тела до удара
, 
;
для тела после удара
; 
,
для тела после удара
; 
.
Отсюда
; 
;
; 
.
Подставляя численные значения, получим
(см); 
(см).
Тесты
1. Какие из перечисленных ниже сил являются консервативными (потенциальными)?
1) …сила трения скольжения; 2) …сила трения качения; 3) …сила сопротивления воздуха; 4) …сила земного тяготения; 5) …сила Стокса (сила сопротивления движению в жидкости).
2. Единицей мощности в системе СИ является...
1) …киловатт [кВт]; 2) …лошадиная сила [л.с.]; 3) …эрг в секунду [эрг∙с]; 4) …ватт [Вт]; 5) …электрон-вольт в секунду [эВ∙с].
3. Какая физическая величина в Международной системе единиц (СИ) измеряется в джоулях?
1) …сила; 2) …вес; 3) …давление; 4) …мощность; 5) …энергия.
4. Дано выражение: 
, где 
– вектор силы, 
и 
– модули радиус-векторов двух положений точки. Это выражение определяет…
1) …момент силы; 2) …кинетическую энергии тела; 3) …работу силы; 4) …импульс силы; 5) …изменение скорости тела.
5. Какие механические законы сохранения выполняются при абсолютно неупругом ударе двух тел?
1) …закон сохранения импульса; 2) …закон сохранения механической энергии; 3) …закон сохранения электрического заряда; 4) …сохранения четности; 5) …закон сохранения импульса и механической энергии.
6. Какая физическая величина в Международной системе единиц (СИ) измеряется в ньютонах на секунду [Н∙с]?
1) …сила; 2) …импульс тела; 3) …давление; 4) …мощность; 5) …работа.
7. Дано выражение 
, где 
- проекция силы на ось 
, 
и 
- два выражения координаты точки. Это выражение определяет…
1) …момент силы; 2) …кинетическую энергию точки; 3) …работу силы; 4) …импульс силы; 5) …работу проекции силы на ось .
8. Единицей измерения давления в системе СИ является…
1) …кельвин [К]; 2) …джоуль [Дж]; 3) …ньютон [Н]; 4) …ватт [Вт]; 5 )…паскаль [Па].
9. Дано выражение ( 
) ,где 
– коэффициент жесткости пружины, x - деформация пружины. Это выражение определяет…
1) …растяжение пружины; 2) …кинетическую энергию точки приложения силы к пружине; 3) …работу силы упругости; 4) …импульс силы; 5) …потенциальную энергию деформированной пружины.
10. Какая совершается работа, силой, перпендикулярной скорости движения материальной точки?
1) …полезная; 2) …затраченная; 3) …нулевая; 4) …для расчёта нужны другие данные; 5) …бесконечно большая.
11. Если - сила, действующая на материальную точку, 
- мгновенная скорость движения материальной точки в интервале времени от до , то 
есть…
1) …момент силы; 2) …кинетическая энергия материальной точки; 3) …работа силы; 4) …импульс материальной точки; 5) …ускорение материальной точки.
12. В потенциальном поле сила равна 
. График зависимости 
представлен на рисунке 3.9.
Рис. 3.9
Зависимость проекции силы 
на направление 
будет иметь вид…
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
13 Работа силы нормальной реакции опоры при движении по горизонтальной поверхности…
1) …всегда положительна; 2) …всегда равна нулю; 3) …всегда отрицательна;
4) …может иметь любой знак; 5) …равна удвоенной работе силы тяжести.
14. Какие из нижеприведенных формул не справедливы для определения кинетической энергии тела? (р - импульс тела, m-масса.)…
1) …I и II; 2) …I и III; 3) …III; IV и V; 4) …I и IV; 5) …III и V.
15. Тело находящиеся в точке А может попасть в точку Д тремя путями: по пути АВД, по пути АД и по пути АСД. В каком из нижеприведенных соотношений находятся между собой работы силы тяжести на этих траекториях (рис. 3.10)?
Рис. 2
1) …AACD > AABD > AAD; 2) … AACD > AAD > AABD ; 3) AACD < AABD < AAD ; 4) … AACD = AABD = AAD ; 5) …AACD = AAD < AABD.
16. Под действием переменной силы, тело массой 1 кг изменяет свою проекцию скорости с течением времени, так, как показано на рисунке 3.11. Определить работу равнодействующей этой силы за 8 секунд после начала движения…
Рис. 3.11
1) …512Дж; 2) …128Дж; 3) …112Дж; 4) …64Дж; 5) …132Дж.
17. В каком из нижеуказанных случаев потенциальная энергия тела относительно Земли остается постоянной, а кинетическая энергия изменяется?
1) при движении тела вертикально вверх; 2) при свободном падении данного тела; 3) …при ускоренном движении в горизонтальном направлении; 4) при движении тела брошенного под углом к горизонту; 5) при движении тела брошенного горизонтально.
18. Диссипативная система – это система, в которой действуют…
1) …внутренние силы; 2) …внешние силы; 3) …потенциальные силы; 4) …непотенциальные силы.
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 105; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!