Движение тела переменной массы. Уравнение Мещерского

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Имеется много случаев, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет, платформа, нагружаемая на ходу и др.).

Наша задача: найти уравнение движения такого тела.

Пусть в некоторый момент масса движущегося тела равна , а присоединяемое (или отделяемой) вещество имеет скорость относительно данного тела.

Пусть далее за промежуток времени от до тело приобретает импульс . Этот импульс тело получит, во-первых, вследствие присоединения (отделения) массы , которая приносит (уносит) импульс , и, во-вторых, вследствие действия силы со стороны окружающих тел или силового поля.

Таким образом,

или

, (2.23)

где скорость присоединяемого (или отделяемого) вещества относительно рассматриваемого тела.

Это уравнение является основным уравнением динамики переменной массы. Его называют уравнением Мещерского. Последнее слагаемое уравнения (2.23) названо реактивной силой: . Если масса присоединяется, то и , если же масса отделяется, то и .

Задачи

Задача 1 Наклонная плоскость составляет угол = 30⁰ с горизонтом (рис. 2.5). Отношение масс тел . Коэффициент трения между телом и плоскостью = 0,1. Массы блока и нити пренебрежимо малы. Найти модуль и направление ускорения тела , если система пришла в движение из состояния покоя.

Решение

Рис. 2.5

Направление силы трения, действующее на тело , будет определено, если найти направление ускорения этого тела в отсутствие трения ( =0). С этого мы и начнем.

Запишем основное уравнение динамики для тел и в проекциях на оси и :

где - сила натяжения нити.

Сложив эти два уравнения, получим

Подставив и , найдем м/с². Таким образом, , следовательно, тело начнет двигаться вверх по наклонной плоскости. Следовательно , действующая на это тело, направлена в противоположную сторону. Тогда

откуда

(м/с²)

Задача 2 На рис.2.6 изображена система блоков, к которым подвешены грузы, масса которых = 200 г и = 500 г. Считая, что груз поднимается, а неподвижный блок с грузом опускается, нить и блоки невесомы, силы трения отсутствуют, определить:

1. силу натяжения нити ,

2. ускорения, с которыми движутся грузы.

Решение

Рис. 2.6

Сложив два уравнения, получим

Подставив численные значения, получим

= 1,5 м/с², = 0,75 м/с², = 2,26 Н.

Задача 3Интегрирование уравнений движения

Частица массы движется под действием силы . В момент известны ее радиус-вектор и скорость - начальные условия. Найти положение частицы, т.е. ее радиус-вектор , в зависимости от времени , если:

1. , , ;

2. , , .

Здесь - постоянный вектор, и - положительные постоянные.

Решение

1. Согласно основному уравнению динамики ускорение

Отсюда

Учитывая, что , после интегрирования, получим

Теперь найдем :

В результате интегрирования находим

где учтено, что .

2. В этом случае ускорение

Для интегрирования этого уравнения перейдем к скалярной форме – к модулю вектора :

Интегрирование этого уравнения дает

После потенцирования возвращаемся к векторной форме:

Последнее уравнение интегрируем еще раз с учетом начальных условий:

Задача 4Закон сохранения импульса

Человек массы находится в лодке массой , которая покоится на поверхности озера. Человек прошел вдоль лодки расстояние и остановился. Сопротивление воды пренебрежимо мало. Найдем соответствующее смещение лодки относительно берега.

Решение

В данном случае результирующая всех сил, действующих на систему человек – лодка, равна нулю, поэтому импульс этой системы меняться не будет, оставаясь равным нулю в процессе движения:

Рис.2.7

или

где и - скорости человека и лодки относительно берега.

С другой стороны ,

где - скорость человека относительно лодки. Исключив из этих двух уравнений, получим

Умножив обе части на и учтя, что , , получим

Задача 5Движение тела переменной массы

Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх в однородном поле тяжести. Первоначально масса ракеты (с топливом) равна . Скорость газовой струи постоянна и равна относительно ракеты. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость ракеты в зависимости от ее массы и времени подъема .

Решение

Запишем уравнение движения ракеты – уравнение (2.23) – в проекции на вертикальную ось , направленную вертикально вверх:

Перепишем это уравнение так:

откуда

Проинтегрировав с учетом начальных условий: , , , получим:

Искомая скорость ракеты

Тесты

1. Силы, с которыми внешние тела действуют на материальную точку механической системы, называются…

1) …внутренними силами; 2) …внешними силами; 3) …потенциальными силами; 4) непотенциальными силами.

2. Коэффициент трения между бруском массой 3 кг и горизонтальной плоскостью равен 0,2. Найти величину силы трения, если на брусок действует горизонтальная сила тяги 5 Н, а он при этом находится в состоянии покоя…

1) …0,2 Н; 2) …5 Н; 3) …6 Н; 4) …11 Н; 5) …15 Н.

3. Дано выражение: , где – вектор силы, действующей на материальную точку, и – два момента времени. Это выражение определяет…

1) …момент силы; 2) ….кинетическую энергию точки; 3) …работу силы; 4) …импульс силы; 5) …импульс тела.

4. Брусок массой 2 кг тянут равномерно по деревянной доске, расположенной горизонтально, с помощью пружины жесткостью 100 Н/м. Коэффициент трения равен 0,3. Удлинение пружины равно ...

1) …0,6 см; 2) …1,7 см; 3) …6 см; 4) …17 см; 5) …60 см.

5. Силы, работа которых при перемещении тела зависит только от начального и конечного положения тела в пространстве, называются…

1) …внутренними силами; 2) …внешними силами; 3) …потенциальными силами; 4) …непотенциальными силами.

6. Сила – векторная величина, которая характеризуется...

1) ...модулем, скоростью, направлением; 2) ...направлением, точкой приложения; 3) ...модулем, точкой приложения, скоростью; 4) ...модулем, точкой приложения; 5) ...модулем, направлением, точкой приложения.

7. Какую скорость за 2 с приобретет тело массой 2 кг, расположенное на горизонтальной поверхности, под действием горизонтальной силы 10 Н, если коэффициент трения равен ?

1) …0 м/с; 2) …2 м/с; 3) …22 м/с; 4) …4 м/с; 5) …10 м/с.

8. Шар массой , двигаясь со скоростью , упруго ударяется о стенку под углом к её поверхности. Найти импульс, сообщённый стене при ударе…

1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … ; 5) … .

9. Два тела двигаются навстречу друг другу. Масса первого 1 кг, скорость 36 км/ч, масса второго тела 2 кг, скорость 5 м/с. Импульс системы тел равен…

1) …10 кг∙м/с; 2) …20 кг∙м/с; 3) 26 кг∙м/с; 4) …46 кг∙м/с; 5) …0 кг∙м/с.

10. Система состоит из трех шаров с массами М₁ = 1 кг, М₂ = 3 кг, М₃ = 2 кг, которые двигаются так, как показано на рисунке 2.8. Если скорости шаров равны V₁= 3 м/с, V₂ = 1 м/с, V₃ = 4 м/с, то вектор импульса центр масс этой системы направлен…

Рис.2.8

1) …вправо; 2) …вверх; 3) ….вниз; 4) …вправо-вверх; 5) …вправо-вниз.

11. Основной закон динамики позволяет вычислить силу из выражения…

1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … ; 5) … .

12. Два тела двигаются по взаимно перпендикулярным направлениям. Импульс первого равен 5 кг∙м/с, импульса второго тела равен 12 кг∙м/с. Импульс системы тел равен…

1) …2,4 кг∙м/с; 2) …7 кг∙м/с; 3) …13 кг∙м/с; 4) …17 кг∙м/с; 5) …60 кг∙м/с.

13. Система состоит из трех шаров с массами М₁ = 3 кг, М₂ = 5 кг, М₃ = 1 кг, которые двигаются так, как показано на рисунке 2.9. Если скорости шаров равны V₁ = 3 м/с, V₂ = 0 м/с, V₃ = 2 м/с, то вектор импульса центр масс этой системы направлен…

Рис. 2.9

1) …вправо; 2) …вверх; 3) …вниз; 4) …вправо-вверх; 5) …вправо-вниз.

14. Тело движется равноускоренно и прямолинейно. В этом случае равнодействующей всех приложенных к нему сил…

1) ...не равна нулю, постоянна по модулю и направлению; 2) ...не равна нулю, постоянна по направлению, но не по модулю; 3) …не равна нулю, постоянна по модулю, но не по направлению; 4) …равна нулю; 5) …равна нулю или постоянна по модулю и направлению.

15. Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном, можно записать в виде…

1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … ; 5) … .

16. Сила, возникающая при деформации тела и направленная противоположно направлению смещения частиц при деформации, называется...

1) ...силой упругости; 2) ...силой тяжести; 3) ...силой реакции опоры; 4) …силой трения; 5) ...весом тела.

17. Ускорение свободного падения на расстоянии от центра Земли, вдвое превышающем ее радиус, равно...

1) ...2,5 м/с²; 2) ...5 м/с²; 3) ...7,5 м/с²; 4) ...10 м/с²; 5) ...12,5 м/с².

18. Какой из нижеуказанных точек на диаграмме зависимости (рис. 2.10) массы планеты от ее радиуса, соответствует планета с наименьшим ускорением свободного падения?

Рис. 2.10

1) …1; 2) …2; 3) …3; 4) …4; 5) …5.

19. Замкнутая система – это система, в которой не действуют…

1) …внутренние силы; 2) …внешние силы; 3) …потенциальные силы; 4)…непотенциальные силы.

20. Какие физические величины связывает закон Гука?

1) …силу, коэффициент трения; 2) …силу, массу тела и ускорение свободного падения; 3) …силу, давление, площадь; 4) …силу, массу и ускорение тела; 5) …силу, жесткость и деформацию.

21. Сила, возникающая при соприкосновении поверхностей тел и препятствующая их относительному перемещению, называется...

1) ...силой тяжести; 2) ...весом тела; 3) …силой упругости; 4) ...силой реакции опоры; 5) ...силой трения.

22. Укажите номер выражения, определяющего модуль силы трения скольжения…

1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … ; 5) … .

23. Какой из нижеприведенных графиков наиболее точно отражает зависимость первой космической скорости от радиуса планеты для спутника, вращающегося на малой высоте по сравнению с радиусом планеты?

1) …1; 2) …2; 3) …3; 4) …4; 5) …5.

Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 240; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!