Метод кусочно-линейной аппроксимации

⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 17Следующая ⇒

Сущность метода состоит в замене нелинейной характеристики отрезками прямых, что позволяет точно аппроксимировать любую заданную нелинейность.

Для «припасовывания» решений, соответствующих отдельным линейным участкам, на основании законов коммутации находят условия связи между постоянными интегрирования. Рассмотрим применение метода на конкретном примере.

Пример 16. Определить зависимости изменения потокосцепления индуктивной катушки при включении ключа, для схемы на рис.72.а Вебер-амперная характеристика катушки задана графически на рис.72.б Начальные условия: , .

Рис.72. Схема цепи и вебер – амперная характеристика катушки.

Решение. Сначала определяем рабочий участок на кривой намагничивания. В начальный момент времени t = 0 потокосцепление ( i =0). В установившемся режиме определяем из вебер-амперной характеристики по вычисленному значению:

. (109)

Таким образом рабочий участок определяется точками 0-2 (рисунок 6.97). На этом участке нелинейная характеристика достаточно точно аппроксимируется двумя отрезками прямых 0-1 и 1-2. На каждом участке индуктивность определяется из графика:

. (110)

Поэтому на каждом участке цепь можно рассматривать как линейную.

Для первого участка:

, (111)

где - установившееся значение при условии линейности при изменении тока от 0 до i _уст :

С учетом (109) получим:

. (112)

Свободная составляющая:

, (113)

где p- корень характеристического уравнения:

. (114)

Постоянную интегрирования определим из начальных условий при t=0, , откуда:

, => . (115)

В итоге для первого участка получаем уравнение:

. (116)

Зависимость при условии показана на рис.73. Продолжительность переходного процесса при этом определяется временем изменения потокосцепления от 0 до , которую определим из выражения (116):

. (117)

Для второго участка при . Закон изменения потокосцепления:

, (118)

где - корень характеристического уравнения;

- установившаяся составляющая.

Постоянную интегрирования А определяем из условия при , с учетом первого этапа , откуда:

; => . (119)

В итоге получаем:

. (120)

Продолжительность переходного процесса определяется временем изменения потокосцепления от до .

Зависимость показана на рис.73.

Рис.73. Изменение потокосцепления после коммутации ключа

ЗАДАЧНИК

Нелинейные резистивные цепи постоянного тока

6.1.1. Для стабилизации тока в нагрузке R_н используются параллельно включенные позистор (рис.74.а), ВАХ которого приведена на рис.74.б и резистор с сопротивлением R.

а) б)

Рис.74. Схема цепи и ВАХ позистора

Подобрать значение R так, чтобы ток был постоянен при изменении напряжения на позисторе от 3 до 10 В. Найти ток стабилизации .

Решение:

Чтобы цепь работала как стабилизатор тока, нужно подобрать такое сопротивление R, при котором суммарная ВАХ параллельной цепи имеет горизонтальный участок (I=const). Это достигается при равенстве сопротивления R резистора модулю дифференциального сопротивления позитрона на падающем участке ВАХ. Следовательно, на участке 3≤U≤10 В (см. рис. 74.б), дифференциальное сопротивление позитрона:

Тогда Ток стабилизации можно определить аналитически для любого значения напряжения на данном участке, например для U=10 В:

Ток стабилизации можно получить графически, сложив ординаты ВАХ позитрона и резистора (см. рис.74,б).

6.1.2. Рассчитать ток в нелинейном резисторе при питании цепи (рис.75.а) от источника ЭДС Е=24 В. ВАХ нелинейного резистора представлена на рис.75.б. Параметры цепи: R₁=R₂=4 Ом, R₃=3 Ом; R₄=1 Ом. Найти токи в остальных ветвях цепи.

а)

б)

Рис.75. Схема цепи и ВАХ нелинейного резистора

Решение:

Задачу целесообразно решить методом эквивалентного генератора. Размыкаем ветвь bd и находим напряжение на разомкнутых зажимах Ubdxx . Определим входное сопротивление без ветви с Rнр.

Э.Д.С. эквивалентного источника равна . Далее, закоротим E и определим входное сопротивление относительно разомкнутых зажимов bd.

Итак, параметры эквивалентного генератора: Eэкв=6 В. Rвн=1.5 А (см. рис. 75,в)

Рис.75в.

На ВАХ нелинейного резистора построим нагрузочную характеристику:

Точка пересечения ВАХ нелинейного резистора с нагрузочной характеристикой (т. А) даёт рабочий режим цепи:

Используя эти данные, определим остальные токи в цепи:

Проверка:

6.1.3. Рассчитать ток в нелинейном резисторе при питании цепи (рис.75.а) от источника тока J=2А, ВАХ нелинейного элемента дана на рис. 75.б. Параметры цепи R₁=R₂=4Ом; R₃=3Ом, R₄=1Ом. Определив режим работы нелинейного резистора, определить токи в остальных ветвях цепи.

Ответы:

А;

Примечание: При расчёте внутреннего сопротивления эквивалентного генератора ветвь с источником тока I разомкнуть. Тогда:

6.1.4. В схеме на рис.76.а рассчитать токи во всех ветвях, ВАХ нелинейно го элемента дана на рис.76.б Параметры цепи: Е=20В, J=3A, R₁=R₂=R₃=2Ом

а) б)

в) Рис.76. Схема цепи и ВАХ нелинейного резистора

Решение:

Задачу решаем методом эквивалентного генератора. Находим параметры эквивалентного генератора, размыкаем ветвь с нелинейным элементом и находим Uabxx. По второму закону Кирхгофа:

Для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора размыкаем ветвь с источником тока, а ЭДС закорачваем.

Получаем следующую цепь (см. рис. 76,г).

Нагрузочная характеристика нелинейного элемента:

Строим эту характеристику на ВАХ НР. Рис.76.г

Точка пересечения А дает рабочий режим цепи. Из графика вычисляем:

Рис. 77,г

6.1.5. Заменить нелинейный активный двухполюсник (рис.77.а) эквивалентным и определить его параметры, если Е₁=Е₂=30В. ВАХ нелинейного резистора заданы на рис.77.б

Рис.77. Активный двухполюсник и ВАХ нелинейных резисторов

Решение:

Смотрим решение задачи 6.1.14.

Ответы:

EЭ= 20 В, направлена в точке в.

U,В	I,А	U,В	I,А
-20	-6.5	20	0.5
-10	-3.25	40	1
0	0	60	5

6.1.6. Показать, что напряжение на выходе схемы рис.78.а пропорционально произведению напряжений U₁ и U₂, если ВАХ цепочки, состоящей из последовательно соединенных диода Д и резистора R, описывается квадратичной зависимостью I=BU²

Примечание: на рис.78б) напряжение U₂ направлено противоположно току I₃ .

а) б)

Рис.78. Схемы цепей

Решение:

По второму закону Кирхгофа имеем:

;

6.1.7. К цепи, схема которой приведена на рис.78.в, приложено напряжение U=300В. ВАХ сопротивлений заданы уравнениями: , , . Определить ток и напряжение на участке «аb».

Рис.78. Схема цепи

Решение:

По первому закону Кирхгофа.

А с учётом ВАХ резисторов имеем:

По второму закону Кирхгофа:

Получаем систему уравнений:

Решая систему уравнения, относительно получаем квадратное уравнение:

6.1.8. Туннельный диод, ВАХ которого изображена на рис.79б, соединён последовательно с источником ЭДС Е=1 и резистором сопротивлением R (рис.79а). Сопротивление R изменяется от 0 до ¥. Построить график зависимости тока I в цепи от сопротивления R.

а) б)

Рис.79. Схема цепи и ВАХ туннельного диода

Решение:

Ток в схеме определим по точкам пересечения ВАХ туннельного диода с нагрузочной прямой, построенной по уравнению Ud=E-IR, где Ud- напряжение на диоде.

Проведем ряд нагрузочных характеристик, и по точкам пересечения их с ВАХ диода определим рабочий режим.
Построим ряд нагрузочных характеристик по данным ВАХ диода:

1=1-0.005R1 → R1=0;

0, 8=1-0.003R2 → R2 =66 Ом;

0,1=1- 0.00373R3 → R3=240 Ом;

0,3=1-0.00175R4 → R4=400 Ом;

0,5=1-0.0005R5 → R5=1000 Ом.

При возрастании R от 0 до ∞ нагрузочная прямая поворачивается против часовой стрелки, меняя положение от вертикального до горизонтального. При < 0 < R < 240 Oм ток плавно снижается от 5 мА до1,5 мА.

При 240 < R < 1000 Ом для каждой нагрузочной прямой появляются три точки пересечения с ВАХ диода, поэтому получаются три участка на характеристике I=f(R); при R > 1000 Ом образуется одна точка пересечения от 1мА до 0. График I=f(R) представлен на рис. 79,г.

г)

6.1.9. Два одинаковых нелинейных сопротивления, ВАХ каждого из которых изображена на рис.80, соединены в одном случае последовательно, а в другом параллельно. К цепи приложено напряжение 200 В.

Определить токи.

Рис.80. ВАХ нелинейного элемента

Решение:

1.Два одинаковых нелинейных элемента соединены последовательно (рис.80.а).

Рис.80.а Схема цепи.

Рис.80.б.

Построим результирующую ВАХ, сложив напряжение (абсциссы) при одинаковых токах (ординатах).

U (I) =U1 (I) + U2 (I). (Рис 80,б).

По результирующей характеристике и известном напряжении сети 200В определим I = 5А , U1 = U2 = 100 B.

2.Два одинаковых нелинейных элемента соединены последовательно (рис 80.в).

Рис.80в. Схема цепи.

По ВАХ элементов определим токи I1 и I2 при U = 200 В.

I1 = 5 А ; I2 = 5 А.

По первому закону Кирхгофа

I = I1 + I2 = 10 А.

6.1.10. Построить входную ВАХ схемы рис.81.а).

ВАХ нелинейных резистивных элементов HP1 и HP2 даны на рис.80.б),

R=5 Ом.

а)

б)

Рис.81. Схема цепи и ВАХ нелинейных элементов

Решение:

сначала строим ВАХ нелинейного резистивного элемента HP_э, эквивалентного параллельно соединенным HP1 и HP2.

Для этого складываем абсциссы ВАХ HP1 и HP2. В результате получим пунктирную кривую на рис. 82, б). HP_э соединен последовательно с резистором R, поэтому для получения результирующей ВАХ складываем ординаты ВАХ HP_э (пунктирная линия) и резистора сопротивлением R = 5 Ом (прямая линия). Красным (или жирным) вычерчена кривая, представляющая собой входную ВАХ.

6.1.11. Определить все токи методом эквивалентного генератора, если E1 = 18 В; Е2 = 6 В; J = 1 A; R1 = 3 Ом; R2 = 6 Ом. ВАХ нелинейного сопротивления задана на рис. 82.

а) б)

в) г)

Рис.82. Схема цепи и ВАХ нелинейного резистора

Решение:

Направление токов ветвей выберем произвольно (рис. 82.в ). Воспользуемся методом эквивалентного генератора. Исключим ветвь с Н.Э и определим напряжение на разомкнутых зажимах ab по формуле двух узлов.

U_abxx₌

Закоротим источники E1 и E2 и найдем входное сопротивление относительно зажимов ab:

R_bx₌ _.

Итак, параметры эквивалентного генератора:

E_экв= U_abxx = 8 В; R_вн = R_bx = 2 Ом.

Подключаем его к Н.Э, получаем схему (рис. 82,d)

Рис.82. d .

Рабочий режим Н.Э. найдем путем пересечения ВАХ с нагрузочной характеристикой нелинейного элемента, построенной по уравнению (м. А).

U_н.э= E_экв – I₃R_вн;

U_н.э= 8 – 2I₃.

Из графика находим I₃ = 3 А, U_ab = 2 В.

По второму закону Кирхгофа определим токи ветвей:

I₁ = = 5.33(А);

I₂=

Проверка:

По первому закону Кирхгофа для узла a:

I₁+ I₂- I₃– J = 0.

5.33 – 1.33 – 3 – 1 = 0.

6.1.12. Рассчитать ток в нелинейном резисторе (рис.83,а) и мощность, выделяющуюся в нем. ВАХ резистора да на (рис. 83,б). Параметры цепи Е = 30В; J = 2A; R1 = 4 Ом ; R2= 1 Ом; R3 = 3 Ом ; R4= 2 Ом.

а) б)

Рис.83. Схема цепи и ВАХ нелинейного резистора

Рис.83.в

Решение:

Задачу решаем, используя метод эквивалентного генератора. Размыкая ветвь с нелинейным элементом. Схема приобретает вид (рис.84, г).

По формуле двух узлов определим напряжение между точками с и d.

Ucd = ;

Ucd = 15 В.

I₁ =

Рис.83.г

По второму закону Кирхгофа имеем :

U_abxx- JR₄+I₁R₁ = E ;

U_abxx= 22 В ;

E_экв= U_abxx = 22 В.

Далее, замыкаем источник ЭДС, размыкаем ветвь с источником тока и находим сопротивление относительно зажимов ab. (рис. 84, d)

Рис.83.д

R_bx = R₄ + ;

R_bx = R_вн = 4 Ом.

Параметры эквивалентного источника:

E_Экв = 22 В, R_вн = 4 Ом, (рис. 83,е).

Нагрузочная прямая

U_н.э = E _Экв – R_вн I ;

U_н.э = 22 – 4I.

Строим ее на графике ВАХ нелинейного элемента. Точка пересечения А дает рабочий режим цепи.

Потребляемая мощность в Н.Э:

P_н_._э = U_ab I = 6 4 = 24 Вт.

Рис .83. г

6.1.13. Определить ток в нелинейном элементе, значения статического R_ст и дифференциального R_диф сопротивления при этом токе, если Е=20В, J=5А, R₁=3 Oм, R₂=2 Oм. Как изменится ток, Rст, Rдиф, если изменить полярность источника тока J. Схема цепи и ВАХ нелинейного элемента задана на рис.84.

а) б)

Рис.84. Схема цепи и ВАХ нелинейного элемента

Рис.84.в)

Решение:

Применим метод эквивалентного генератора. Разомкнем зажимы c и b и найдем напряжение U _bcxx (рис. 84,г).

U_ab = JR₂ = 5 2 = 10 В.

По второму закону Кирхгофа (рис. 85,г) запишем:

U_bcxx+ U_ab = E

U_bcxx = 10 В.

Рис.84.г)

Рис. 85, г

Разомкнем ветвь с источником тока, замкнем источник ЭДС и определим R_вн= R₁ + R₂ = 5 Ом.

Параметры эквивалентного источника E_экв = U_bcxx = 10 В, R_вн= 5 Ом.

Нагрузочная характеристика

U_н.э= E_экв - I R_вн ;

U_н.э = 10 – 5 I.

Строим прямую на графике ВАХ нелинейного элемента. Точка пересечения A дает рабочий режим.

Рис.84.д)

Итак, ток через нелинейный элемент

I = 1 А, U_н.э= 5 В.

Статическое сопротивление равно:

R_ст = = 5 Ом.

Для определения дифференциального сопротивления проведем касательную ВАХ через точку А. (пунктирная линия).

R_диф= ctgβ₁= = -1 Ом.

Если изменить полярность источника,

E_экв= 30 В, R_вн= 5 Ом.

Нагрузочная характеристика нелинейного элемента:

U_н.э= 30 – 5I (см. рис. 84, в)

Рабочий режим – точка пересечения B.

I = 4,5 A, U_н_._э= 7,5 B;

R_ст = = 1,666 Ом ; R _диф = ctgβ₂= = 3 Ом.

6.1.14. Заменить нелинейный активный двухполюсник (рис.85.а) на эквивалентный и определить его параметры, ВАХ нелинейных элементов даны на рис.85.б, Е=30В, J=-1A.

а) б)

Рис.85. Схема цепи и ВАХ нелинейных элементов

Решение:

Строим зависимость токов I₁, J, I₂ в функции U_ab на основании следующих уравнений:

U _ab = E – U_н1 ; J = const ; U_ab = U _н2 (см. рис. 86, в) На основании первого закона Кирхгофа ток на входе двухполюсника I = J + I₂ –I₁ . Токи построены в функции одной и той же переменной U_ab, поэтому I(U_ab) = J(U_ab) + I₂(U_ab) – I₁(U_ab) (см. рис.86,в).

Эквивалентная схема приведена на рис.85,d.

Рис.85. в)

U_ab – U_э = E_э

U_ab = U_э + E_э

Значение E_э определяется точкой пересечения I = f(U_ab) и осью абсцисс E_э= 5 В.

U_н.э= U_ab - E_э

ВАХ нелинейного элемента получается, если I(U_ab) влево на E_э(рис.85,в).

Рис.85.д)

6.1.15. Нелинейный элемент имеет ВАХ, описываемую уравнением I=AU+bU³. Определить дифференциальное и статическое сопротивления элемента при напряжении: а) U=0 В, б) U=5 В.

Решение: