Метод конформных отображений.
Метод зеркальных изображений.
Метод применим для расчета полей, созданных системой источников поля (зарядов в электростатическом поле либо токов в магнитном поле и в электрическом поле постоянных токов), расположенных вблизи плоской бесконечно протяженной границы, разделяющей области с различными характеристиками среды (e, m, g). Рассмотрим метод на примере электростатического поля, созданного системой зарядов вблизи плоской проводящей границы.
Пусть в диэлектрике на высоте h над проводящей плоскостью находится заряженное тело с зарядом +q (рис.4–1а).
 |
jy
+q jy +q
h h
e x e x
g s U = const e U = const
а) h
–q
б)
|
|
|
Рисунок 4–1
Поле, созданное зарядом q , приведет к уходу с поверхности проводника одноименных зарядов, т.е. к появлению на поверхности слоя зарядов противоположного знака, распределенных по поверхности с некоторой плотностью (s), величина которой в разных точках различна. Линии напряженности начинаются на теле с положительным зарядом (+q) и заканчиваются на проводящей плоскости с зарядом (– s), причем линии напряженности будут подходить к проводящей равнопотенциальной поверхности под прямым углом. Рассчитать такое поле можно, лишь зная закон распределения поверхностного заряда s на проводящей плоскости: s = D = eE = 
. Для этого необходимо знать зависимость потенциала от координат U (x, y, z) , что невозможно не зная закон распределения заряда s (x, y, z).
Рассмотрим поле в диэлектрике, созданное двумя заряженными одинаковыми телами с равными и противоположными по знаку зарядами (+q, – q ), расположенными на расстоянии 2h друг от друга (рис. 4–1б). Созданная такой системой зарядов картина поля симметрична относительно плоскости, все точки которой равноудалены от заряженных тел. Линии напряженности электрического поля в силу симметрии перпендикулярны этой плоскости. Поэтому плоскость симметрии является поверхностью равного потенциала.
|
|
|
Сопоставляя полученную (рис.4–1б) и исходную (рис.4–1а) картины полей, можем утверждать, что из-за одинаковой геометрии и граничных условий картины поля в верхней полуплоскости идентичны, а, следовательно, все характеристики поля полностью совпадают.
Таким образом, метод зеркальных изображений позволяет заменить проводящую среду, ограниченную плоской поверхностью, диэлектриком с зеркальным изображением заряженного тела и с изменением знака заряда на противоположный. При этом поле в исходной области остается неизменным.
Расчет поля системы двух зарядов в диэлектрике существенно проще, чем в исходной задаче, т.е. метод зеркальных изображений позволяет упростить расчет поля. Этот метод применим для любого количества заряженных тел, а в плоскопараллельных полях для любого числа параллельных земле проводов с зарядами.
Рассчитав потенциал этим методом, легко определить через его производную на плоскости симметрии распределение зарядов на поверхности проводника.
| y=0
Применение метода зеркальных изображений возможно и в случае, когда заряды находятся внутри диэлектрика между гранями двугранного угла «a», образованного проводящими поверхностями, если 
, где «n» целое число. Для угла 
(рис.4–2) имеем:
|
|
|
 |
-t2 +t1
+t21 -t11
Рисунок 4-2
Отразим заряд +t1 от вертикальной стенки, вследствие чего появится второй заряд противоположного знака –t2 , и оба эти заряда оказались расположенными над горизонтальной проводящей плоскостью. Отразим эти заряды в горизонтальной плоскости и получим еще два заряда ( t21 и –t11). Полная система из четырех зарядов образует картину поля в диэлектрике, часть которой в первом квадранте совпадает с исходной картиной поля.
Метод зеркальных изображение применяется и при отражении зарядов в цилиндрических и в сферических проводящих поверхностях. Он также применим при отражении в поверхностях раздела диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями для плоской, цилиндрической и сферической границы. Более подробно эти вопросы рассматриваются в курсе «Расчет электромагнитных полей».
Метод конформных отображений.
Расчет поля методом конформных отображений основан на том, что существует возможность отобразить с помощью некоторого математического преобразования заданную область в комплексной плоскости « z » ( x + jy) на так называемую каноническую область в комплексной плоскости « ω » ( ξ+ j h).
|
|
|
В качестве канонической области обычно используется верхняя полуплоскость, а также круг либо полоса. Преобразование называется конформным, так как при переходе от одной области к другой либо обратно сохраняются углы в точках пересечения между любыми линиями в обеих областях az = aω (рис.4-3).
jy j h
z aω
1 az 1 2
ω
2
zk ωk
x ξ
Рисунок 4–3
Для изучения полей это очень важно, так как мы знаем, что линии равного потенциала и линии напряженности всегда пересекаются под прямым углом.
Существует общий подход к преобразованию произвольной многоугольной области, ограниченной ломаной линией на верхнюю полуплоскость и обратно с помощью интеграла Кристоффеля-Шварца.
Для многих часто встречающихся конфигураций областей получены соотношения, необходимые для преобразования, они приведены в справочной литературе. Рассмотрим некоторые простые примеры.
1. Двугранный угол ( a) – поле между двумя проводящими плоскостями, сходящимися под углом (рис. 4–4а).
jy j h
z
U = 0 ω
a C
B C
A U = 0 x B A ξ
0 а) 0 б)
Рисунок 4–4
Проводящие грани имеют одинаковый потенциал (U = 0), совместим ось (x) со следом одной из граней. Преобразование такой области на верхнюю полуплоскость (ω) осуществляется по формуле:
Положение любой точки на первой грани (точка А), координаты которой в исходной системе координат записываются в виде: 
, в области ω определяется координатой 
и располагаются на положительной части вещественной оси ξ. (рис. 4–3б). Изменяется лишь линейный масштаб. Положение любой точки на второй грани (точка B), координаты которой в исходной системе координат записываются в виде: 
, в области ω определяется координатой 
и располагаются на отрицательной части вещественной оси ξ. Положение любой точки на биссектрисе угла (точка С), координаты которой в исходной системе координат записываются в виде: 
, в области ω определяется координатой 
и располагаются на мнимой оси jh (см. рис.4–4б).
2. Бесконечно глубокий проводящий паз, шириной ( d) (рисунок 4–5а).
jy jh
 | |||
 | |||
A F D z ω
E
E F
d
x ξ
B 0 C A B 0 C D
а) б)
Рисунок 4–5
Пометим начало координат посредине дна паза и направим ось (x) вдоль дна вправо. Преобразование такой области на верхнюю полуплоскость (ω) осуществляется по формуле:
.
Положение угловых точек (В и С), координаты которых в исходной системе координат записывается в виде: 
, в области ω также расположены на вещественной оси ξ и определяется координатами:
.
Положение точек (A и D), координаты которых в исходной системе координат записывается в виде: 
, в области ω расположены на вещественной оси ξ и определяется координатами:
.
Положение точки (E), координата которой в исходной системе записывается в виде: 
, в области ω расположена на мнимой оси jh и определяется координатой:
. (см. рис.4–5б).
3. Плоскость с вертикальным выступом (стеной), высотой ( h) (рисунок 4–6а).
jy j h
 |  |
B z ω
C B ω0
z0
h
x ξ
A 0 D A 0 C 0 D
а) б)
Рисунок 4–6
Начало координат поместим у основания выступа и направим ось (x) вдоль горизонтальной плоскости. Преобразование такой области на верхнюю полуплоскость (ω) осуществляется по формуле:
.
Положение точки (С), координата которой в исходной системе записывается в виде: 
, в области ω расположена в начале координат, так как определяется координатой:
. Положение точки (0), координата которой в исходной системе записывается в виде: 
, в области ω вследствие двузначности корня дает два значения на вещественной оси ξ и определяется координатами: 
. Положение точек (A и D), координаты которых в исходной системе записывается в виде: 
, в области ω расположены на вещественной оси ξ и определяется координатами: 
Положение точки (B), координата которой в исходной системе записывается в виде: 
(y> h), в области ω расположена на мнимой оси jh и определяется координатой: 
(см. рис.4–6б).
Получение выражения для комплексного потенциала в исходной области на плоскости (z) и определение зависимости плотности заряда (s) на поверхности проводников рассмотрим на примере плоскости с выступом.
Пусть в исходной системе заряженный провод с зарядом (+t) находится в точке с координатой (z0 = x0 + jy0). После преобразования исходной области на каноническую область на основе используемой формулы преобразования найдем место расположения заряженного провода в области ω (рис.4-6): 
. Затем, используя метод зеркальных изображений, заменим проводящую среду диэлектриком с проницаемостью e и с зеркально расположенным зарядом (–t) . Его координата является сопряженной с координатой исходного заряда: 
.
Запишем известное выражение для комплексного потенциала в системе двух заряженных осей (проводов).
,
здесь ω – координата произвольной точки поля. В области ω линии равного потенциала и линии напряженности являются, как мы уже знаем, окружностями. Для перехода к исходной области выразим ω через z, тогда получим:
.
Величину напряженности в любой точке определяем через производную от комплексного потенциала:
.
После упрощения получим:
.
Подставляя координаты поверхности проводников и умножая на e, получим значения поверхностной плотности заряда на поверхности проводников: s = D = e E .
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 208; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!