Определение потенциала по заданному распределению заряда.
Для уединенного точечного заряда из первой части курса ТОЭ нам известно выражение для потенциала: 
.
Для совокупности точечных зарядов, распределенных в ограниченной по размерам области пространства, решение для линейной среды получаем на основе принципа наложения, принимая потенциал равным нулю в бесконечности:
,
rk - расстояние от соответствующего заряда до точки, в которой определяется потенциал.
Если задана система тел с зарядами, причем известно распределение зарядов в пространстве, то можно все распределенные заряды разбить на элементарные заряды dq , каждый из которых можно рассматривать как точечный. Составляющая потенциала от каждого элементарного точечного заряда равна:
.
Потенциал от совокупности элементарных зарядов получаем интегрированием:
.
Рассмотрим частные случаи распределения зарядов в пространстве.
1.Объемное распределение заряда: dq = r dV.
В этом случае решение уравнения Пуассона имеет вид:
.
2. Распределение зарядов на поверхности проводников dq = s ds.
В этом случае решение уравнения Пуассона имеет вид:
.
3. Линейное распределение зарядов вдоль тонких проводников dq = t dl.
В этом случае решение уравнения Пуассона имеет вид:
.
Во всех случаях следует помнить, что полученные выражения справедливы только в том случае, если система зарядов (рис.2–3) расположена в ограниченной области пространства. Они являются частными решениями уравнения Пуассона. Ввиду линейности этого уравнения его полное решение записывается как сумма частного решения и общего решения однородного решения, т. е. уравнения Лапласа:
|
|
|
Физически это означает, что поле в любой точке может быть создано не только зарядами внутри рассматриваемой области, но и зарядами вне ее, например, на границе области.
V r S
dV s
r ds
r
r
l dl
t
Рисунок 2–3
Способы задания граничных условий в электростатических задачах.
Полученные решения уравнений Пуассона для расчета потенциала, а затем и остальных характеристик поля практически малоприменимы, так как в реальных технических задачах поле создается зарядами, распределенными на поверхностях проводников. Однако неизвестно, как они распределены на этих поверхностях. Наиболее часто в качестве граничных условий задаются значения потенциалов на поверхностях проводящих электродов |(тел).
|
|
|
Случай, когда на границах заданы значения разыскиваемой величины (потенциала), называется заданием граничных условий первого рода или условий Дирихле. Чаще всего задается разность потенциалов между электродами, и возникает вопрос о выборе точки нулевого потенциала. Традиционно поступают следующим образом:
1. В системе тел ограниченных размеров принимают потенциал равным нулю в бесконечности.
2. В системе проводящих тел неограниченных размеров за нулевой потенциал принимается потенциал одного из проводников (земля), либо проводника, охватывающего все остальные проводники
Если заданы потенциалы не всех тел (или не все разности потенциалов), то для некоторых проводников должны быть заданы их полные заряды. Для определения неизвестных потенциалов тел следует использовать дополнительные условия, связывающие полные заряды с рассчитываемыми характеристиками поля – напряженностью и смещением:
|
|
|
.
При решении задачи расчета поля в кусочно-однородных диэлектриках получаем общее решение уравнения Пуассона в каждой области и сопрягаем их на границах областей с различными диэлектрическими проницаемостями, используя известные соотношения:
; 
; Uk = Uk+1.
Из второго уравнения, после преобразования получим:
или 
.
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 126; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!