В чём смысл частных производных?
:
– это функции, которые характеризуют скорость изменения функции 
в направлении осей 
и 
соответственно. Так, например, функция 
характеризует крутизну «подъёмов» и «склонов» поверхности 
в направлении оси абсцисс, а функция 
сообщает нам о «рельефе» этой же поверхности в направлении оси ординат.
Частные производные второго порядка
Частные производные от частных производных 
, 
функции z = f(x;у) называются частными производными второго порядка.
Функция двух переменных может иметь четыре частные производные второго порядка, которые обозначают так:
, 
,
, 
.
Производные 
и 
называются смешанными.
Можно доказать, что
Если смешанные производные и непрерывны, то они равны между собой.
Как читать обозначения производных 2 порядка:
или 
– вторая производная по «икс»
или 
– вторая производная по «игрек»
или 
– смешанная производная «икс по игрек»
или 
– смешанная производная «игрек по икс»
Пример 7
Найти частные производные второго порядка функции
Перепишем уже найденные частные производные первого порядка:
Находим вторую производную по «икс».
Для этого берем и дифференцируем её по «икс» еще раз, применяя правило (переменную у считаем константой ):
Аналогично:
Найдем смешанные производные:
Берем частную производную 
и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по «игрек».
|
|
|
Аналогично:
Пример 8
Найти смешанные производные 2 –го порядка функции
z = х4 - 2х2у3 + у5 +1.
Решение:
Так как 
и 
, то
,
Итак, вторая производная – это производная от первой производной.
Первые частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка и т. д.
Дифференциал функции
Определение 1
Выражение
называется полным приращениемфункции 
в точке 
, а выражение
- полным дифференциаломфункции .
Определение 2
Линейная относительно 
и 
часть полного приращения функции 
называется полным дифференциаломфункции и обозначается
dz = d х + d у.
Или
Для функции трёх переменных и= f(x;у; z)
d и= 
d х + 
d у+ 
dz .
Дифференциалы второго порядка определяют по формуле
d 2 z = d(dz).
Пример 9
Найти полный дифференциал первого порядка функции
,
Решение:
; 
dz=(2x-2y)dx+(-2x+3y)dy
,
Пример 10
Найти полный дифференциал 
.
Решение: Находим частные производные первого порядка:
(1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае 
и 
, а, значит, и их произведение 
считается постоянным числом.
|
|
|
(2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни.
(1) Выносим все константы за знак производной, в данном случае константой является 
.
(2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения 
.
(3) Не забываем, что – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило: 
.
Запишем полный дифференциал .
В данном случае:
Полный дифференциал второго порядка.
Дифференциал второго порядка определяют по формуле
d 2 z = d(dz).
Он выглядит так:
Пример 11
Найти полный дифференциал второго порядка
функции
,
Решение:
;
.
И далее, найденные производные 2-го порядка нужно подставить в формулу
Производная сложной функции
Случай
Пусть дана функция, зависящая от 
и 
, которые в свою очередь являются функциями одной переменной:
х=х(t) и y=y(t), то есть u - сложная функция переменной t :
Определение:
Полной производной функции называется выражение :
Для того чтобы найти полную производную необходимо уметь находить частные производные.
|
|
|
Пример 12
Дана сложная функция 
, где 
. Требуется:
1) найти её полную производную и записать полный дифференциал 1-го порядка;
Решение
Подставим найденные производные в нашу формулу:
Ответ
Пример 13
Найти производную 
функции 
, если 
Другие обозначения не должны вызывать затруднения. Вам нужно ответить на два простых вопроса:
1) От чего зависит «главная» функция? В данном случае функция «зет» зависит от двух функций («у» и «вэ»).
2) От каких переменных зависят вложенные функции? В данном случае оба «вложенные» функции зависят только от «икса».
Далее следует адаптировать формулу полной производной к этой задаче. :
.
В данном случае:
Ответ: 
:
2 случай:
Рассмотрим сложную функцию двух переменных z=f(x,y), где x=x(u,v), y=y(u,v);,
Частные производные по двум независимым переменным u и v находят по формулам
( *)
В других обозначениях , если z=f(x,y), где s =(s(х,у); t=t(х,у)), формулы для
частных производных имеют вид :
(**)
Пример 14
Найти частные производные сложной функции 
, где 
Решение: данная функция имеет вид 
, и после подстановки 
и 
мы получаем функцию двух переменных (х,у):
|
|
|
Но можно поступить по другому, используя готовые формулы (**) для сложной ФНП.
Сначала найдём частные производные «главной» функции z (s,t):
Теперь находим «иксовые» производные промежуточных аргументов s(x,y) t(x,y)
и записываем итоговую «иксовую» производную функции z:
Аналогично с «игреком»:
Находим «игрековые » производные промежуточных аргументов s(x,y) t(x,y)
и записываем итоговую «игрековую » производную функции z:
В итоге получаем производную сложной функции z (s(х,у);t(х,у)):
Ответ:
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 81; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!