Предел и непрерывность функции

Лекция №1.Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные и полный дифференциал

 

Теоретические вопросы

1. Понятие функции многих переменных.

2. Предел и непрерывность функции многих переменных.

3. Частные производные.

4. Дифференциал функции

5. Производная сложной функции

 

 

Повторение-ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ И ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ!!!

 

Таблица производных основных функций

1.                                8.

2.                             9.

3.                           10.

4.                             11.

5.                          12.

6.       13.

7.

 

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

 

1. Постоянный множитель c можно выносить за знак производной:

Правило 1 непосредственно вытекает из определения производной функции и свойства пределов функций, согласно которому постоянный множитель можно выносить за знак предела.

 

2. Если существуют производные и , то производная от суммы (разности) функций и равна сумме (разности) производных:

Правило дифференцирования суммы или разности функций также следует из определения производной функции и свойства пределов функций, согласно которому предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) соответствующих пределов.

 

3. Если существуют производные и , то выполняются следующие правила дифференцирования произведения функций и частного от их деления:

 

 

Понятие функции нескольких переменных

Если задан закон f  , в силу которого каждой точке М(х ;...;х ) D ставится в соответствие число и, то говорят, что на множестве D определена функция нескольких переменных и= f(х ;...;х ).

Например, функция и= f(х ;...;х )-выражает спрос на товар.

х1--доход потребителя, х2-цена товара, х3-расходы на рекламу, х4-вкус и предпочтения потребителя , и т. д.

Или     S= S(x,y)- площадь прямоугольника со сторонами х и у –функция двух переменных .

 

Множество точек М(х ;...;х ), для которых функция и= f(х ;...;х ) определена, называют областью определенияэтой функции и обозначают D(f) или ООФ.

 Множество точек М, которые удовлетворяют неравенству (М;М )< , называют -окрестностью точки М .

 

Функцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений независимых переменных (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной (функции).

Данную функцию обозначают следующим образом:

либо , или же другой буквой, например :

 

Пример : - функция 2-х переменных

Геометрический смысл функции двух переменных

 Если функции одной переменной соответствует определённая линия на плоскости (например, –парабола), то график функции двух переменных это поверхность в трехмерном пространстве .

Пример на рис ниже:

 

 

 

 

Областью определения функции двух переменных (ООФ), называется множество всех пар , для которых существует значение .

Графически область определения представляет собой всю плоскость либо её часть.

 

Пример 1

Найти область определения функции

Решение: так как знаменатель не может обращаться в ноль, то:

Ответ: вся координатная плоскость кроме точек, принадлежащих прямой

Если бы по условию требовалось выполнить чертёж, то следовало бы изобразить координатную плоскость и пунктиром провести прямую . Пунктир означает, что линия не входит в область определения. (граница области определения функции не принадлежит области определения )

 

Пример 2

Найти область определения функции

Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Ответ: полуплоскость

Графическое изображение здесь таково: в  декартовой системе координат (х,у), сплошной линией проводим прямую и штрихуем верхнюю полуплоскость. Сплошная линия указывает на тот факт, что она входит в область определения. (граница области определения функции принадлежит области определения )

 В этом случае ООФ называют замкнутой

Пример 3

Найти область определения функции и изобразить её на чертеже

Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

и, учитывая, что знаменатель не может обращаться в ноль, неравенство становится строгим:

Уравнение определяет окружность с центром в начале координат радиуса , которая делит координатную плоскость на две части – «внутренность» и «внешность» круга. Так как неравенство у нас строгое, то сама окружность не войдёт в область определения и поэтому её нужно провести пунктиром.

 В случае, если граница не принадлежит ООФ, область называют открытой, незамкнутой.

Теперь берём произвольную точку плоскости, не принадлежащую окружности , и подставляем её координаты в неравенство . Проще всего, конечно же, выбрать начало координат :

Получено неверное неравенство, таким образом, точка не удовлетворяет неравенству . Более того, данному неравенству не удовлетворяет и любая точка, лежащая внутри круга, и, стало быть, искомая область определения – внешняя его часть. Область определения традиционно штрихуется: см рис ниже:

Ответ: внешняя часть круга

 

 

Линии уровня

Для лучшего понимания этого термина будем сравнивать ось с высотой: чем больше значение «зет» – тем больше высота, чем меньше значение «зет» – тем высота меньше. Также высота может быть и отрицательной.

Функция в своей области определения представляет собой пространственный график

. Что такое линии уровня? Представим себе гористую местность .  Образно говоря, линии уровня – это горизонтальные «срезы» поверхности на различных высотах. Данные «срезы» или правильнее сказать, сечения проводятся плоскостями , после чего проецируются на плоскость .

Определение:

линией уровня функции называется линия на плоскости , в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение: .

Линии уровня помогают выяснить, как выглядит та или иная поверхность – причём помогают без построения трёхмерного чертежа! Рассмотрим конкретную задачу:

Пример 4
Найти и построить несколько линий уровня графика функции

Решение: исследуем форму данной поверхности с помощью линий уровня. Запишем так:

Очевидно, что в данном случае «зет» (высота) заведомо не может принимать отрицательные значения (так как сумма квадратов неотрицательна). Таким образом, поверхность располагается в верхнем полупространстве (над плоскостью ).

Поскольку в условии не сказано, на каких конкретно высотах нужно «срезать» линии уровня, то мы можем  выбрать несколько значений «зет» на своё усмотрение.

Исследуем поверхность на нулевой высоте, для этого поставим значение в равенство :

Решением данного уравнения является точка . То есть, при линия уровня представляет собой точку.

Поднимаемся на единичную высоту и «рассекаем» нашу поверхность плоскостью (подставляем в уравнение поверхности):

Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке единичного радиуса.

Теперь берём, например, плоскость и «пересекаем »  ею исследуемую поверхность (подставляем в уравнение поверхности):

Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке радиуса .

Для высоты :

– окружность с центром в точке радиуса 3.

Линии уровня располагаются на плоскости , и каждая линия подписывается – какой высоте она соответствует: z=0, z=1, z=3,……

Ответ: линии уровня данной поверхности представляют собой концентрические окружности вида

Примечание: при получается вырожденная окружность нулевого радиуса (точка)

Само понятие линии уровня пришло из картографии. Перефразируя устоявшийся математический оборот, можно сказать, что линия уровня – это географическое место точек одинаковой высоты.

 Рассмотрим  гору с линиями уровня 1000, 3000 и 5000 метров:

На рисунке хорошо видно, что левый верхний склон горы гораздо круче правого нижнего склона. Таким образом, линии уровня позволяют отразить рельеф местности на «плоской» карте. Кстати, здесь приобретают вполне конкретный смысл и отрицательные значения высоты – ведь некоторые участки поверхности Земли располагаются ниже нулевой отметки уровня мирового океана.

 Параллели и меридианы также представляют линии уровня .

 Линии уровня используют не только в картографии. Известные из курса физики изотермы , изобары, -тоже линии уровня.

 

 

Предел и непрерывность функции

Определение

Число  называется пределом функции  при , если для любого числа  найдется такая - окрестность точки : , что для любой точки  из этой окрестности имеет место неравенство: .

Записывают этот факт следующим образом:

                                             .                       (1)

Заметим, что свойства пределов и действия над пределами для функции многих переменных аналогичны свойствам пределов и действиям над пределами для функции одной переменной.

Функция  называетсянепрерывной в точке , если:

1) ;

2) .                                                           (2)

.

Точка  называется точкой разрыва непрерывности функции , если в этой точке функция  не является непрерывной, т.е. если нарушено хотя бы одно из условий определения непрерывности.

                     

Частные производные.

Пусть функция двух переменных z = f(x;у) (для большего количества переменных всё аналогично) определена в некоторой окрестности точки М (x;у).

Дадим переменной х приращение так, чтобы точка (х+ ;у) принадлежала этой окрестности. При этом функция z = f(x;у) изменится на величину

,

которая называется частным приращением функции z = f(x;у) по переменной х.

Аналогично, величину

называют частным приращением функции по переменной у.

Определение

 

 Если существует предел

,

то его называют частной производной функции z = f ( x ;у) в точке М ( x ;у) по переменной х и обозначают такими символами:

, , , .

Аналогично

= .

 

Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.

 

 

Из таких определений следует, что правила вычисления производных, совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной. Следует только помнить, что при вычислении частной производной по одной переменной остальные переменные считаются постоянными.

Частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей.

Обозначения частных производных первого порядка:
или – частная производная по «икс»
или – частная производная по «игрек»

 

ПРАВИЛО :

Когда находят частную производную по « икс», то переменную считают константой (постоянным числом).

Когда находят частную производную по « игрек», то переменную х считают константой (постоянным числом).

 Далее применяют  формулы и правила дифференцирования функции одной переменной

Пример 5

Найти частные производные функции

 

  ,

 

 

Решение:

,

,

 

Пример 6

Найти частные производные первого  порядка функции

 

Решение:

 

(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом.

 (2) Используем правила дифференцирования , . Обратите внимание на первое слагаемое: так как считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной, то вместе с множителем 2 мы выносим за скобки.

(3) Далее используем табличные производные и

(4)  Упрощаем ответ.

Теперь найдем  в соответствии с правилом

Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная считается константой (постоянным числом).

(1) Используем те же правила дифференцирования , . В первом слагаемом выносим константу за знак производной, во втором слагаемом ничего вынести нельзя поскольку – уже константа.

(2) Используем таблицу производных элементарных функций

 

---

Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 128; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!