Почему дифференциал можно использовать в приближенных вычислениях?

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Дифференциал, является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. В этом можно убедиться, мысленно передвигая перпендикуляр, опущенный из точки P (см. рисунок) к оси Ox, ближе к началу координат. Поэтому при малых значениях (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , т.е.

О разных формах записи дифференциала

Дифференциал функции в точке x и обозначают так: или Следовательно,

или или же

поскольку дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента, а - наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (1) этого не видно из записи.

Дифференциал функции можно записать в другой форме: или

Пример 1. Найти дифференциалы функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. Применяя формулы дифференцирования степенной и логарифмической функций из таблицы производных, а также формулы, находим:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Пример 2. Найти дифференциал функции в точке x = 2,

1) выделив линейную часть;

2) по формуле.

Решение: 1) Находим приращение функции в точке x = 2:

Линейная часть составляет и, таким образом, .

2) Используем формулу :

Пример 3. Найти дифференциал функции

в точке x.

Решение:

Пример 4. Найти дифференциал функции в точках x = 0 и x = 1.

Решение:

Свойства дифференциала

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:

(С – постоянная величина)

Формулы получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на .

Дифференциал сложной функции

Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть y сложная функция x: , . Дифференциал этой функции, используя формулу для производной сложной функции, можно записать в виде . Но есть дифференциал функции u, поэтому , т. е. .

Здесь дифференциал записан в том же виде, как и в формуле для дифференциала функции независимой переменной x, т. е. , хотя аргумент u является не независимой переменной, а функцией x.

Следовательно, выражение дифференциала функции в виде произведения производной этой функции на дифференциал её аргумента справедливо независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.

Во всех примерах требуется вычислить дифференциал функции двумя способами: выражая его через dx и через du - дифференциал промежуточной переменной u. Проверить совпадение полученных результатов.