Примеры непрерывных случайных величин
Глава 6. Непрерывные случайные величины.
Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины
Множество значений непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.
Случайная величина x(w),заданная в вероятностном пространстве {W,S,P}, называется непрерывной (абсолютно непрерывной) W, если существует неотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределения Fx(x) можно представить в виде интеграла
.
Функция 
называется функцией плотности распределения вероятностей.
Из определения вытекают свойства функции плотности распределения 
:
1. Плотность распределения неотрицательна: 
.
2. Интеграл по всей числовой прямой от плотности распределения вероятностей равен единице: 
3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: 
.
4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т.к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал 
:
.
5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение 
равна нулю: 
. Поэтому справедливы следующие равенства:
.
График функции плотности распределения называется кривой распределения, и площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Тогда геометрически значение функции распределения Fx(x) в точке х0 есть площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс и лежащая левее точки х0.
|
|
|
Рис.6.1.
Задача 1. Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид:
Определить константу C, построить функцию распределения Fx(x) и вычислить вероятность 
.
Решение. Константа C находится из условия 
Имеем:
откуда C=3/8.
Чтобы построить функцию распределения Fx(x), отметим, что интервал [0,2] делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: 
Рассмотрим каждый из этих интервалов. В первом случае (когда x<0) вероятность события {x<x} вычисляется так:
так как плотность x на полуоси 
равна нулю. Во втором случае
Наконец, в последнем случае, когда x>2,
так как плотность 
обращается в нуль на полуоси 
. Итак, получена функция распределения
Вероятность 
вычислим по формуле 
. Таким образом, 
Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Математическое ожидание для непрерывно распределенных случайных величин определяется по формуле 
При этом интеграл, стоящий справа, должен абсолютно сходиться. Пусть x имеет плотность р(х) и j(х) - некоторая функция. Математическое ожидание величины j(x) можно вычислить по формуле
|
|
|
,
если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.
Дисперсия x может быть вычислена по формуле 
, а также, как и в дискретном случае, по формуле 
, где 
.
Все свойства математического ожидания и дисперсии, приведенные в главе 5 для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.
Задача 2. Для случайной величины x из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.
Решение.
Далее,
и значит,
Примеры непрерывных случайных величин
Равномерное распределение.Непрерывная случайная величина x имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если плотность распределения рx(x) сохраняет постоянное значение на этом промежутке:
График плотности равномерного распределения см. на рис. .
Рис.6.2. Функция распределения и плотность распределения. равномерного закона
Функция распределения Fx(x) равномерно распределенной случайной величины равна
Fx(x)= 
Математическое ожидание и дисперсия 
; 
.
Показательное (экспоненециальное) распределение. Непрерывная случайная величина x, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром l>0, если плотность распределения вероятностей случайной величины равна
|
|
|
рx(x)= 
Рис. 6.3. Функция распределения и плотность распределения показательного закона.
Функция распределения показательного распределения имеет вид
Fx(x)= 
а математическое ожидание и дисперсия равны Мx= 
, Dx= 
.
Нормальное распределение (распределение Гаусса). Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону с параметрами и 
, если ее плотность распределения равна
.
Через 
обозначается множество всех случайных величин, распределенных по нормальному закону с параметрами параметрами и .
Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна
.
Рис. 6.4. Функция распределения и плотность распределения нормального закона
Параметры нормального распределения суть математическое ожидание 
и дисперсия 
В частном случае, когда 
и 
нормальное распределение называется стандартным, и класс таких распределений обозначается 
.
В этом случае плотность стандартного распределения равна
,
а функция распределения
Такой интеграл не вычислим аналитически (не берется в «квадратурах»), и потому для функции 
составлены таблицы. Функция связана с введенной в главе 4 функцией Лапласа
|
|
|
,
следующим соотношением 
. В случае же произвольных значений параметров и функция распределения 
случайной величины 
связана с функцией Лапласа с помощью соотношения:
.
Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал 
можно вычислять по формуле
.
Неотрицательная случайная величина x называется логарифмически нормально распределенной, если ее логарифм h=lnx подчинен нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально распределенной случайной величины равны Мx= 
и Dx= 
.
Задача 3. Пусть задана случайная величина 
. Вычислить вероятность 
.
Решение. Здесь 
и 
. Согласно указанной выше формуле
Распределение Лапласа задается функцией fx(x)= 
e-lïxï, -¥<х<¥.
(двусторонняя показательная плотность).
Функция плотности распределения симметрична относительно нуля и Мx=Хmed=Xmod=0 и асимметрия -bx=0. Дисперсия в два раза больше дисперсии случайной величины, распределенной по показательному закону Dx= = 
и эксцесс равен gx=3.
Рис.6.5. Функция плотности распределения Лапласа.
Случайная величина x распределена по закону Вейбулла, если она имеет функцию плотности распределения, равную 
Функция распределения в этом случае определяется следующим выражением :
Распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств. В задачах данного профиля важной характеристикой является интенсивность отказа (коэффициент смертности) l(t) исследуемых элементов возраста t, определяемый соотношением l(t)= 
. Если a=1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, а если a=2 - в так называемое распределение Рэлея.
Математическое ожидание распределения Вейбулла: - 
и дисперсия - 
, где Г(а) -функция Эйлера. .
В различных задачах прикладной статистики часто встречаются так называемые «усеченные» распределения. Например, налоговые органы интересуются распределением доходов тех лиц, годовой доход которых превосходит некоторый порог с0, установленный законами о налогообложении. Эти распределения оказываются приближенно совпадающими с распределением Парето. Распределение Парето задается функциями
Fx(x)=P(x<x)=1–( 
)a; 
,
где a>0, а х>с0. Основные числовые характеристики этого распределения существуют не всегда, а лишь при соблюдении определенных требований к значению параметра a: математическое ожидание - Мx= 
при a>1, дисперсия - Dx= 
существует при a>2;
Функции от случайных величин
Пусть задана плотность случайной величины x и монотонная дифференцируемая функция 
. Тогда плотность распределения случайной величины 
равна
Здесь 
– функция, обратная к функции .
Задача 4. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [0,2]. Найти плотность случайной величины 
.
Решение. Из условия задачи следует, что
Далее, функция 
является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке [0,2] и имеет обратную функцию 
, производная которой равна 
Следовательно,
.
Значит,
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 295; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!