Экстремум функции двух переменных (максимум и минимум)

Лекция № 2 «Функции нескольких переменных»

Производная по направлению. Градиент функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , l – некоторое направление, задаваемое единичным вектором , где - направляющие косинусы вектора .

При перемещении в данном направлении l точки в точку функция получит приращение называемое приращением функции в направлении l .

Опр. 1. Производной функции по направлению l называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при стремлении последней к нулю, т.е. .

Производная характеризует скорость изменения функции в направлении l. Рассмотренные ранее частные производные и представляют собой производные по направлениям, параллельным соответственно осям Ох и Оу.

Примем без доказательства формулу для нахождения производно по направлению (5).

При вычислении производной по направлению полезны формулы

Пример1. Вычислить производную функции в точке по направлению вектора где

Решение. Найдем координаты вектора и его направляющие косинусы.

Находим частные производные функции их значения в точке М(1; 2)

Применяем формулу (5)

Опр. 2. Градиентом функции называется вектор с координатами .

Обозначают вектор градиента одним из следующих способов .

Рассмотрим физический смысл вектора градиента. Найдем скалярное произведение вектора и единичного вектора направления l .

Получим: Сравнив полученное равенство с равенством (5) получим, что Известно, что скалярное произведение двух векторов максимально, если они одинаково направлены. Следовательно, градиент функции в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке. Таким образом, из всех направлений на плоскости в данной точке в направлении вектора градиента функция растет быстрее всего и имеет место формула

Пример 2. Найти градиент функции , его модуль и производную в направлении градиента в точке М(0; -1).

Решение. Находим частные производные функции и их значения в точке М.

Тогда градиент функции равен .

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть функция дифференцируема в некоторой области D, точка .

x₀

y₀

M₀

Рисунок 1

Пересечем поверхность S, изображающую функцию. плоскостями Плоскости пресекают поверхность S по линиям и к каждой из которых в силу дифференцируемости функции в точке можно провести касательные l ₁ и l ₂ (рис. 1)

Прямые l ₁ и l ₂ определяют плоскость которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке М.

Получим уравнение этой плоскости. Так как плоскость проходит черед точку будем искать ее уравнение в виде Преобразуем данное уравнение к виду

Найдем коэффициент А₁. Касательная l ₂ лежит в плоскости , следовательно, координаты точек касательной удовлетворяют уравнению плоскости, поэтому имеет место система уравнений . Решая систему. получим

Аналогично получим

Подставим полученные выражения в уравнение касательной плоскости, тогда уравнение примет следующий вид:

(6).

Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной к этой поверхности, называется нормалью.

Уравнение нормали можно получить в каноническом виде, используя условие перпендикулярности прямой и плоскости (направляющий вектор прямой будет нормальным вектором для плоскости). Тогда уравнение нормали:

(7)

Пример. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

Решение. Найдем частные производные функции, их значения в точке М и воспользуемся уравнениями (6) и (7).

Экстремум функции двух переменных (максимум и минимум)

Пусть функция определена в некоторой области D, точка .

Опр. 1 Точка называется точкой максимумафункции , если существует такая d-окрестность точки , что для каждой точки , отличной от точки , из этой окрестности выполняется неравенство .