ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ  ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Из формулы (3) следует, что для двух пружинных маятников с разными массами m и m + Δm квадраты периодов колебаний соответственно равны

                      и           . Откуда

                                                                                 (4)

Но k = F / Δl, где в данном случае F = Δmg. Подставляем эти выражения в (4) и получаем

Таким образом, формула для расчета ускорения силы тяжести по методу Бесселя, принимает вид

                                                                                    (5)

Из нее следует, что для определения ускорения силы тяжести g достаточно измерить периоды колебаний  и   пружинного маятника для двух разных масс m и (m + Δm ), и дополнительное растяжение Δl пружины маятника при увеличении его массы на величину Δ m. Растяжение Δl определяется как разность отсчетов, для свободно висящих на пружине масс (m + Δm ) и m соответственно.

ОПИСАНИЕ  УСТАНОВКИ

  Схематическое устройство установки показано на рис.1. Она состоит из груза 1 массой m, укрепленного на пружине  2, второй конец которой укреплен на жестком подвесе 3. Груз расположен перед шкалой по которой можно отсчитывать удлинение пружины маятника при увеличении массы груза 1. Время колебаний пружинного маятника во всех случаях определяется при помощи секундомера.                                                                                Рис.1                                                                                                                                                 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

4.1. С помощью угольника произвести отсчет l положения груза m и данные занести в таблицу 1.

4.2. Вывести груз из положения равновесия так, чтобы удлинение пружины составило примерно 1/20 часть ее длины. Пропустить 2-3 колебания, включить секундомер и определить время 100 полных колебаний. Для данной массы груза измерения повторить три раза. Результаты занести в таблицу.

4.3. Добавить к массе m дополнительный груз Δ m и после установления равновесия произвести отсчет l + Δl  по метрической шкале.

4.4. Повторить измерения по п.4.2 для маятника с увеличенной массой груза m + Δm. Результаты занести в таблицу.

4.5. По результатам прямых измерений определить средние значения удлинения пружины Δ l, и периодов колебаний маятника  ,  при значениях массы маятника m и m + Δm соответственно. Полученные данные занести в таблицу 1.

4.6. Рассчитать среднее значение ускорения     по формуле (5) .

4.7. Вывести формулу для расчета абсолютной  и относительной  ошибок измерений, считая g =f(Δl, , ) функцией трех переменных так, как это делается при обработке результатов косвенных измерений.

4.8. Окончательный результат представить в виде

Таблица 1

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

4.1. Увеличивая массу маятника путем последовательного подвешивания добавочных грузов, снять зависимость удлинения пружины от массы груза.

4.2. Используя справочное значение g  построить график зависимости статического отклонения Δl  груза от веса груза маятника.

4.3. По наклону полученной прямой определить статическую жесткость k  пружины.

Δl
m g

КОНТРОЛЬНЫЕ  ВОПРОСЫ

5.1. Что такое амплитуда и фаза колебания?

5.2. Отчего зависит амплитуда и начальная фаза гармонического механического колебания?

5.3. Какое ускорение называется ускорением силы тяжести?

5.4. Каким образом ускорение силы тяжести связано с законом всемирного тяготения?

5.5. Что такое пружинный маятник? В чем его отличие от математического?

5.6. Как изменяется период колебаний пружинного маятника при изменении жесткости пружины?

                                     ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4

                           ФИЗИЧЕСКИЙ ОБОРОТНЫЙ МАЯТНИК

Цель работы: Изучение свободных колебаний физического маятника.

Определение положения центра тяжести физического маятника.

Определение ускорения силы тяжести при помощи оборотного маятника.

Приборы и принадлежности:

1. Оборотный маятник.

2. Электронный секундомер.

Материал для изучения:   Уравнение движения физического маятника.

                                               Гармонические колебания

                                               Центр тяжести и центр масс

                                           Момент инерции твёрдого тела.

                                           Теорема Штейнера.

                                                Ускорение силы тяжести

                                 1.ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Физическим маятником является любое твердое тело, совершающее колебания под действием приложенных сил вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести.

 Обычно под физическим маятником подразумевают тело, способное совершать колебания под действием силы тяжести. На рис.1 показано схематическое изображение такого маятника.  Чтобы записать уравнение движения физического маятника, воспользуемся уравнением гармонического осциллятора, который является важным примером периодического движения и служит приближенной моделью мо многих задачах классической механики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, а также электрический колебательный контур.  

     Для нашего случая уравнение колебаний  имеет вид . Здесь m-масса маятника, g – ускорение силы тяжести, l – расстояние от оси подвеса до центра тяжести, J – момент инерции маятника, а  – представляет собой угловую координату центра тяжести. Двумя точками обозначена вторая производная угла поворота по времени.

     Вводя обозначение  получаем явный вид уравнения гармонического осциллятора

                                                      +                                           (1)

Частным решением этого уравнения является  . Используя связь

частоты колебаний с периодом колебаний  , получаем

.    Откуда  .                             (2)

Это выражение определяет период колебаний любого физического маятника. Подчеркнем, что приведенная формула справедлива только для малых амплитуд колебаний маятника, т.е. когда угол отклонения маятника от положения равновесия мал. Из анализа этого выражения следует, что период Т увеличивается с увеличением момента инерции и с уменьшением расстояния l от точки подвеса до центра тяжести. При l=0 он обращается в бесконечность. Период колебаний математического маятника с длиной нити l₀ определяется формулой Томсона

                                                                                    (3)

Сравнивая выражения (2) и (3), можно сделать вывод о том, что период колебаний физического маятника совпадает с периодом колебаний такого математического маятника у которого длина нити равна . Это выражение называется приведённой длиной физического маятника. Точка К (рис.1), расположенная на продолжении прямой ОС на расстоянии L от оси подвеса, называется центром качаний физического маятника. Расстояние ОК всегда больше , чем ОС. На рис.2 центр качаний совпадает с осью O^'.

     Точка оси подвеса О и центр качаний физического маятника обладают свойством взаимности, которое заключается в следующем. Если центр качаний (точку К) сделать новой осью подвеса, т.е. перевернуть маятник, то точка О прежней оси подвеса станет новым центром качаний, а период колебаний не изменится. Это свойство взаимности используется в оборотном маятнике для определения ускорения силы тяжести земного тяготения.

                                    2 ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

На рис.2 показано схематическое устройство оборотного маятника, используемого в процессе измерений. Конструктивно он выполнен в виде стального стержня 1 на котором неподвижно закреплены две опорные призмы 2 и 3. Острые грани этих призм, расположенные на расстоянии L друг от друга, соответствуют параллельным осям O и О  вокруг которых маятник может совершать колебания. Кроме того, на маятнике находятся два массивных стальных диска, один из которых А закреплён неподвижно , а другой В может перемещаться вдоль стержня, изменяя тем самым момент инерции всей системы. Для определения положения этого диска с ним совмещена нониусная шкала, а на стержне нанесена основная неподвижная миллиметровая шкала. Достижимая точность отсчёта положения подвижного диска по нониусной шкале 0,1 мм. Точка С соответствует положению центра тяжести а за l₁ и l₂ принято расстояние до него от осей O и О^'  соответственно. Описанный оборотный маятник является частным случаем физического маятника.

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ

ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА МЕТОДОМ ОБРАЩЕНИЯ

Если расстояние L между опорными призмами известно, то положение центра тяжести, т.е. расстояние до него от оси подвеса, определяется очень просто.

В соответствии с формулой (2) запишем момент инерции физического маятника относительно оси О (опора на призму 2)

                                                 mgl₁                                                  (4)

После переворачивания маятника, период его колебаний теперь уже относительно оси О` (опора на призму 3) станет другим, т.к. изменится распределение масс относительно точки подвеса и, следовательно, момент инерции и расстояние от оси вращения до центра тяжести.

Момент инерции маятника относительно оси О` будет:

                                                                                                (5)

Здесь l₁ и l₂ расстояния от центра тяжести до осей О и О` cоответственно (см.рис.2). При этом очевидно, что l <sub>1</sub> + l <sub>2</sub>=L, где L расстояние между опорными призмами, т.е. ОО`. Так как J₁ и J₂ моменты инерции маятника относительно двух осей параллельных друг другу и отстоящих одна от другой на расстоянии L, то, применяя теорему Штейнера, можно записать

                                       (6)

и                                                                                  (7)

Здесь J ₀ момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр тяжести C и параллельной осям, проходящим через точки О и О`.

Вычитая из первого уравнения второе и учитывая, что l ₁ + l ₂=L , получим

                                              J₁-J₂=m(l₁-l₂)L ,                             (8)

Если теперь вычесть из уравнения (4) уравнение (5), то получится

                                                                     (9)

Сравнивая (8) и (9), получаем

После подстановки l ₂ = L - l ₁ и решения уравнения относительно l ₁ находим расстояние от осей О и О` до центра тяжести маятника.

Найденные величины                                                (10)

и

                                               l ₂ = L - l ₁    ,                                                          (11)

позволяют определить положение центра тяжести и моменты инерции физического маятника относительно прямой O и оборотной O^'   осей.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

ПРИ ПОМОЩИ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

  Если положение подвижного диска таково, что период колебаний физического маятника относительно оси О равен периоду колебаний относительно О` после переворачивания, то ось О` совпадает с центром качаний и маятник становится оборотным. Следовательно в этом случае для каждой из осей можно записать              и   . Периоды относительно обеих осей одинаковы.

Или, выражая отсюда моменты инерции относительно осей О и О`,               и                                .

После вычитания одного уравнения из другого и подстановки значений J ₁ и J ₂ из (6) и (7)

Получим          .

Решая полученное уравнение относительно g, находим

                                                                                             (12)

Если известны период колебаний оборотного маятника Т и расстояние между опорными призмами L, то это выражение  позволяет определить ускорение силы тяжести g.

5.  ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

5.1. Снимите физический маятник с подвесной опоры и установите подвижный диск В в положение, соответствующее значению по шкале нониуса равному 2,0.

5.2. Установите маятник на опору так, чтобы подвижной диск В был внизу.

5.3. Отклоните маятник на угол ~5 градусов и по электронному секундомеру определите время 20 полных колебаний.

5.4. Переверните маятник диском В вверх и повторите измерение времени полных 20 колебаний.

5.5. Передвигая диск В, выполните измерения пп.3 и 4 для указанных в таблице значений Х при прямом и обратном подвешивании маятника.

5.6. Занесите полученные данные в таблицу.

5.7. Постройте по точкам графики зависимостей Т₁ и Т₂  от положения Х диска В.

5.8.Определите графически значение периода колебаний Т оборотного маятника. Это будет соответствовать пересечению кривых Т₁ (Х) и Т₂ (Х)

5.9. Используя формулу (12) определите по полученному значению периода колебаний оборотного маятника Т ускорение силы тяжести g.

5.10. Рассчитайте по формулам (10), (11) и занесите в таблицу значения величин  l₁ и l₂, определяющих положение центра тяжести маятника при различных положениях диска В.

5.11. Постройте график зависимости положения центра тяжести l₁ маятника от положения Х диска В.

5.12. Принимая погрешности L и Т, равными 0,1 мм и 0,01 сек соответственно, рассчитайте погрешность измерения Δ  по формуле:

Окончательный результат представить в виде:

+Δ

Мы поможем в написании ваших работ!