Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Исследование функции и построение графиков функций с помощью производной.

Если  на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.

Если  на промежутке, то функция убывает на этом промежутке.

    Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности.

Точки, в которых производная равна 0 или не существует называются критическими (точки, в которых производная не существует, называются точками разрыва).

 называется точкой максимума функции, если:

1) ;

2) при переходе через точку  производная меняет свой знак с «+» на «‑», а функция меняется с возрастания на убывание;

.

 называется точкой минимума функции, если:

1) ;

2) при переходе через точку  производная меняет свой знак с «-» на «+», а функция меняется с убывания на возрастание;

.

 

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:

1. Указать область определения функции .

2. Вычислить производную функции.

3. Найти критические точки  и точки разрыва (если существуют).

4. Разбить область определения критическими точками на промежутки.

5. Методом подстановки определить знак производной на каждом промежутке.

6. Пользуясь определением указать промежутки монотонности и точки экстремума (если существуют).

Пример 1: Найти точки экстремума функции:

f(х) = х³+6х²+4

Решение:

1) f ′(х) = (х³+6х²+4) = (х³)′+(6х²)′+(4)′= 3х²+6∙2х+0=3х²+12х

2) f′(х)=0 3х²+12х=0                         

х(3х+12)=0                 

х=0 или 3х+12=0                

                                    3х=-12              

х=

т.min

т.max

х=-4

∞

-∞

     

0

-4

3)  f′(х) +      -       +

       f(х)

 4) На интервале (-∞;-4) возьмём число -5, подставим в производную f′(х):

 f′(-1)=3∙(-5)²+12∙(-5)=75-60=15>0, знак «+», значит (↑)

На интервале (-4;0) возьмём число -1, подставим в производную f′(х):

 f′(-1)=3∙(-1)²+12∙(-1)=3-12=-9<0, знак «-», значит (↓)

На интервале (0;∞) возьмём число 1, подставим в производную f′(х):

 f′(1)=3∙1²+12∙1=3+12=15>0, знак «+», значит (↑)

5) На схеме определяем, что х=-4 т.max, х=0 – т.min

Ответ: х=-4 т.max, х=0 – т.min

При построении графиков функций сначала исследуют свойства функций по вышеуказанному алгоритму, затем результаты заносят в таблицу:

x	Промежуток	Критическая точка	Промежуток
f ’( x )	Знак производной	0	Знак производной
f ( x )	Поведение функции	Значение функции в критической точке	Поведение функции

    После исследования находят точки пересечения функции с осью Ох: , и несколько дополнительных точек, для более точного построения. Выполняют построение.

Исследование функции с помощью производной

Алгоритм исследования функции для построения графика

1. Найти область применения функции;

2. Найти производную функции f′(х);

3. Найти стационарные точки;

4. Найти промежутки возрастания и убывания функции;

5. Определить точки экстремума (т.max, т.min);

6. Найти значение функции в стационарных точках;

7. Заполнить таблицу;

8. Построить график.

Пример 2: Исследовать функцию и построить график

 f(х) = 6х²-2х³

Решение:

1) Область применения: любое х;

2) f′(х) = (6х²)′-(2х³)′=6∙2х-2∙3х²=12х-6х²

3) f′(х) =0 12х-6х²=0

х(12-6х)=0

х=0 или 12-6х=0

-6х=-12

х=

т.min

т.max

х=2

4) 

∞

-∞

0

2

f′(х)    -      +      -

     f(х) 

 (-∞;0) «-1» f′(-1)=12∙(-1) -6∙(-1)²=-12-6=-18<0, знак «-», значит (↓)

 (0;2) «1» f′(1)=12∙1-6∙1²=12-6=6>0, знак «+», значит (↑)

 (2;∞) «3» f′(3)=12∙3-6∙3²=36-54=-18<0, знак «-», значит (↓)

5) Определим по схеме, что х=0 – т.min, х=2 – т.max

6) f(0) = 6∙0²-2∙0³=0-0=0

f(2) = 6∙2²-2∙2³=24-16=8

7) Заполним таблицу:

 

х	(-∞;0)	0	(0;2)	2	(2;∞)
f′(х)	-	0	+	0	-
f(х)		0		8

 

 

                         т.min(0;0)        т.max(2;8)

 

 

8) Строим график функции f(х) = 6х²-2х³

****************************************************************

1. Найти интервалы возрастания и убывания функции:

1) ;                         10) ;

2) ;                        11) ;

3) ;               12) ;

4) ;                13) ;

5) ;                        14) ;

6) ;                                15) ;

7) ;          16) ;

8) ;                   17) ;

9) ;                          18) .

2. Найти критические точки функции:

1) ;                         3) ;

2) ;                       4) .

3. Найти точки экстремума функции:

1) ;                  5) ; 

2) ;                  6) ;

3) ;                     7) ;

4) ;                        8) .

4. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:

1) ;                                5) ;  6) ;

2) ;                         7) ;

3) ;                             8) ;

4) ;                                9) .                       

 

****************************************************************

5. Постройте график функции:

1) ;                   11) ;

2) ;                  12) ;

3) ;                   13) ;

4) ;                     14) ;

5) ;                 15) ;

6) ;                  16) ;

7) ;                17) ;

8) ;                18) ;

9) ;                  19) .

10) ;                                     

6. Построить график функции:

1)  на отрезке ;

2)  на отрезке ;

3)  на отрезке ;

4)  на отрезке ;

 

---

Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 125; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!