ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ
Задание 6
Производная функции
Введение
Математика - это наука, изучающая пространственные формы и количественные отношения действительного мира.
Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. В то же время математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также элементом общей культуры. Поэтому основной задачей курса математики в образовательных заведениях среднего профессионального образования является обеспечение обучающихся математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения специальных дисциплин.
Тема «Производная. Применение производной функции» имеет огромное прикладное значение, в частности, при разработки курсовых, расчётно-графических работ и дипломных проектов, для профессиональной деятельности и продолжения образования.
ПРОИЗВОДНАЯ
Определение производной.
Пусть задана функция 
, определенная и непрерывная на некотором промежутке.
Предел отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента, когда последний стремится к 0 называется производной функции:
,
, 
хк - конечное значение аргумента
хн - начальное значение аргумента
Механический и физический смысл производной
Пусть данная функция описывает движение материальной точки.
|
|
|
Тогда 
временной интервал
путь, пройденный точкой за данный промежуток времени 
.
Определение. Скорость прямолинейногодвижения материальной точки в момент времени t есть производная пути S по времени t. В этом состоит механический смысл производной.
Т.е 
.
Обобщая можно сказать, что если функция 
описывает какой - либо физический процесс, то производная 
есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.
Физический смысл производной состоит в задаче нахождения мгновенной скорости движения:
, пусть 
.
****************************************************************
1. Используя определение производной найдите 
, если:
1) 
; 5) 
;
2) 
; 6) 
;
3) 
; 7) 
;
4) 
; 8) 
.
2. Точка движется по закону 
. Найти среднюю скорость движения за промежуток времени
1) от 
до 
; 2) от 
до .
3. Найти мгновенную скорость движения точки, если
1) 
; 2) 
.
4. Закон движения задан формулой 
. Найти:
1) среднюю скорость движения от до 
;
2) скорость движения в момент и .
5. Определить скорость тела, движущегося по закону 
в момент времени 
и 
.
|
|
|
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ.
Геометрический смысл производной состоит в том, что тангенс угла наклона касательной к оси Ох называется производной функции в точке касания и равен угловому коэффициенту 
.
|
Уравнение касательной 
|
Таблица производных и правила дифференцирования:
1 правило. Производная суммы функций: 
.
2 правило. Производная произведения функций: 
.
3 правило. Производная частного функций: 
.
4 правило. Вынесение числового множителя за знак производной: 
.
| Функция | Производная |
| 0 |
| 1 |
| 
|
| 
|
| 
|
| k |
|
|
| 
|
|
|
| 
|
| 
|
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
****************************************************************
1. Вычислить производные следующих функций:
1) 
; 20) 
; 39) 
;
2) 
; 21) 
; 40) 
;
3) 
; 22) 
; 41) 
;
4) 
; 23) 
; 42) 
;
5) 
; 24) 
; 43) 
;
6) 
; 25) 
; 44) 
;
7) 
; 26) 
; 45) 
;
8) 
; 27) 
; 46) 
;
9) 
; 28) 
; 47) 
;
10) 
; 29) 
; 48) 
;
|
|
|
11) 
; 30) 
; 49) 
;
12) 
; 31) 
; 50) 
;
13) 
; 32) 
; 51) 
;
14) 
; 33) 
; 52) 
;
15) 
; 34) 
; 53) 
;
16) 
; 35) 
; 54) 
;
17) 
; 36) 
; 55) 
;
18) 
; 37) 
; 56) 
.
19) 
; 38) 
;
2. Найдите 
, если
1) 
; 2) 
;
3) 
; 9) 
;
4) 
; 10) 
;
5) 
; 11) 
;
6) 
; 12) 
;
7) 
; 13) 
;
8) 
; 14) 
.
3. Найдите значения х, при которых значение производной равно 0, если:
1) 
; 5) 
;
2) 
; 6) 
;
3) 
; 7) 
.
4) 
;
4. Выяснить при каких значениях х производная принимает положительные и отрицательные значения, если:
1) 
; 5) 
;
2) 
; 6) 
;
3) 
; 7) 
;
4) 
; 8) 
.
5. Найти производные следующих функций:
1) 
; 7) 
;
2) 
; 8) 
;
3) 
; 9) 
;
4) 
; 10) 
;
5) 
; 11) 
;
6) 
; 12) 
;
13) 
; 18) 
;
14) 
; 19) 
;
15) 
; 20) 
;
16) 
; 21) 
.
17) 
;
6. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
:
|
|
|
1) 
; 3) 
;
2) 
; 4) 
.
7. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой :
1) 
; 5) ;
2) 
; 6) 
;
3) 
; 7) ;
4) 
; 8) 
.
8. Найти угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой и осью Ох:
1) 
; 4) 
;
2) 
; 5) ;
3) 
; 6) 
.
9. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой 
:
1) 
; 3) 
;
2) 
; 4) 
.
Проверь себя!
1. Найти 
, если 
.
2. Найти производную функции:
; 
;
; 
.
3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
.
4. Найти угол между касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
и осью Ох.
Сложная функция.
Сложная функция – это функция от функции: 
.
Производную сложной функции считают с помощью правила цепочки, которое состоит в следующем: производная сложной функции равна произведению производных входящих в нее функций:
.
****************************************************************
1. Найти производные следующих функций:
1) 
; 8) 
;
2) 
; 9) 
;
3) 
; 10) 
;
4) 
; 11) 
;
5) 
; 12) 
;
6) 
; 13) 
;
7) 
; 14) 
.
2. Найти значения х, при которых значение производной функции 
равно 0; положительно; отрицательно:
1) 
; 4) 
;
2) 
; 5) 
;
3) 
; 6) 
.
3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , если:
1) 
; 3) 
;
2) 
; 4) 
.
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ
Нахождение стационарных точек и промежутков монотонности.
Достаточный признак убывания (возрастания) функции, теорема Лагранжа, понятия «промежутки монотонности функции»
Экстремумы функции и значения в них
Определения точек максимума и минимума, необходимый признак экстремума (теорему Ферма) и достаточный признак максимума и минимума, знать определения стационарных и критических точек функции
Исследование и построение графиков функций.
Схема исследования функции, метод построения графика чётной (нечётной) функции
Нахождение наибольших и наименьших значений функций.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и на интервале
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 57; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!