Статистическое определение вероятности
Теория вероятностей и математическая статистика
Классификация событий
Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. События обозначают заглавными буквами латинского алфавита.
Достоверным называется событие, которое непременно произойдет при определенной совокупности условий.
Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при определенной совокупности условий.
Случайным, называется событие, которое при определенных условиях может произойти или не произойти.
Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного не исключает появление другого.
Два события называются несовместным, если они не могут произойти в одном испытании.
Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны.
Два события называются противоположными, если появление одного равносильно непоявлению другого.
Множество событий 
называются полной группой событий, если они попарно несовместны; появление одно и только одного из них является достоверным событием. Например, шесть граней кубика образуют полную группу событий.
События называются равновозможными, если нет оснований полагать, что одно событие более возможно, чем другие.
Каждое событие, которое может наступить в процессе опыта, называется элементарным исходом.
|
|
|
Классическая вероятность
Для количественного сравнения событий вводится определенная мера, которая называется вероятностью события.
Классическое определение вероятности 
, 
- общее число исходов, 
- число благоприятствующих исходов.
Свойства вероятности:
Вероятность достоверного события равна единице. Обозначим 
- достоверное событие, т.е. 
, 
.
Вероятность невозможного события равна нулю. Обозначим 
- невозможное событие, т.е. 
, 
.
Вероятность случайного события выражается положительным числом, меньшим 1. Поскольку для случайного события 
выполняются следующие неравенства 
или 
, 
.
Вероятность любого события 
удовлетворяет неравенству 
.
Элементы комбинаторики
Перестановкой 
из элементов называется расположение этих элементов в ряд. Для пустого множества принимается соглашение – пустое множество можно упорядочить только одним способом, т.е. по определению полагают 
.
Сочетаниями из 
различных элементов по 
элементов называются множества, содержащие элементов из числа заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из элементов по обозначают 
; это число выражается формулой 
. По определению полагают 
.
|
|
|
Размещениями из различных элементов по элементов называются множества, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число размещений из элементов по обозначают 
; это число выражается формулой
При решении задач комбинаторики используются следующие правила.
Правило суммы. Если некоторый объект 
может быть выбран из множества объектов способами, а другой объект 
можно выбрать способами, то выбрать либо , либо можно 
способами.
Правило произведения. Если некоторый объект может быть выбран из множества объектов способами, и после каждого такого выбора объект можно выбрать способами, то пара объектов 
в указанном порядке может быть выбрана 
способами.
Статистическое определение вероятности
Классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможные. О равновозможности исходов опыта заключают в силу соображений симметрии (как в случае монеты или игрального кубика). Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко.
Существует обширный класс событий, вероятности которых нельзя вычислить по классической формуле 
. Рассмотрим, например, неправильно выполненную, несимметричную игральную кость. Выпадение определенной грани уже не будет характеризоваться вероятностью 
; но, вместе с тем ясно, что для данной конкретной несимметричной кости выпадение данной грани обладает некоторой степенью вероятности, указывающей, насколько часто в среднем должна появляться данная грань при многократном бросании. Очевидно, что вероятности таких событий, как “попадание в цель при выстреле”, “пробивание брони осколком снаряда”, “улучшение состояния больного при приеме лекарств”, также не могут быть вычислены по классической схеме. В связи с этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим. Чтобы дать это определение, предварительно вводят понятие относительной частоты события.
|
|
|
Относительной частотой события, или частотой, называется отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов, 
, где m – число появления события , n – число произведенных опытов.
Наблюдения позволили установить, что относительная частота обладает свойствами статистической устойчивости: в различных сериях многочисленных испытаний (в каждой из которых может появиться или не появиться это событие) она принимает значение достаточно близкое к некоторой постоянной. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.
|
|
|
Статистической вероятностью называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний (например, на 1000 новорожденных – 515 мальчики и т.д.).
В случае статистического определения вероятность обладает следующими свойствами: 1) вероятность достоверного события равна единице; 2) вероятность невозможного события равна нулю; 3) вероятность случайного события заключена между нулем и единицей; 4) вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий.
Геометрическая вероятность
Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно. Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятность – вероятность попадания точки в область.
Обозначим меру области g (длину, площадь, объем) через mes g, а меру G – через mes G (mes первые три буквы французского слова 
, что значит мера); обозначим буквой событие “попадания брошенной точки в область g, содержащейся в области G.” Вероятность попадания в область g точки, брошенной в область G, определяется формулой
.
Задача о встрече
Два студента договорились о встрече в некоторый промежуток времени [0,T], причем каждый из них приходит к месту встречи случайным образом и ждет другого не более τ минут. Найти вероятность встречи студентов.
Пусть х и у – моменты прихода студентов к месту встречи. Областью равновозможных значений х и у является квадрат площадью 
. Встреча произойдет, если 
. Этому неравенству удовлетворяют точки, лежащие в заштрихованной полосе. Площадь полосы 
. Тогда
.
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 48; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!