Классическое определение вероятности

Лекция №3

Различные подходы к определению вероятности

Вопросы:

Классическое определение вероятности события

2. Статистическое определение вероятности события

3. Геометрическое определение вероятности события

4. Аксиоматическое определение вероятности события

Всякий исход опыта (эксперимента, наблюдения) называют событием. Если в результате опыта некоторое событие обязательно происходит, то его называют достоверным. Если событие не может произойти, то его называют невозможным. Если событие может произойти, а может и не произойти, то его называют случайным. Например, при бросании игральной кости выпадение шести очков – событие случайное, выпадение семи очков – событие невозможное, а выпадение не более шести очков – событие достоверное.

Различные случайные события обладают различной возможностью своего осуществления. Если, например, в лотерее разыгрывается один автомобиль и 100 велосипедов, то интуитивно ясно, что выигрыш велосипеда – событие более возможное, чем выигрыш автомобиля. Мера осуществимости случайного события и есть его вероятность.

Теория вероятности изучает не сами случайные явления, а закономерности в этих случайных явлениях. Давно замечено, например, что при многократном подбрасывании монеты наблюдается устойчивость частоты появления герба. Если n_* - число всех подбрасываний, m_* - число появлений герба, то частота появлений герба при .

Чтобы проверить эту закономерность, Бюффон провел 4040 подбрасываний монеты. Герб выпал 2048 раз, частота p_*= 0,507. Пирсон провёл 24000 подбрасываний, герб выпал 12012 раз, частота p* = 0,5005.

Эта закономерность имеет общий характер, т.е. частота появления некоторого события A в серии повторяемых в одинаковых условиях опытов стремится к некоторому числу при неограниченном увеличении числа опытов. Естественно, это число и принять за вероятность события A. Пишут P(A) = . Такое определение вероятности события A называют статистическим, его предложил в 1919 году Мизес. Главным достоинством и одновременно недостатком статистического определения вероятности является его непосредственная связь с практикой. С одной стороны, оценить (найти приближенно) вероятность реального случайного события можно только по его частоте, а с другой стороны, неприемлемо положить в фундамент теоретической науки результат эксперимента, который, к тому же, практически не осуществим.

Результатом усилий многих ученых (Ферма, Паскаль, Гюйгенс, Бернулли, Лаплас) явилось второе определение вероятности, так называемое классическое определение вероятности. Прежде чем привести это определение, введем некоторые дополнительные понятия.

Говорят, что множество исходов данного опыта образует полную группу событий, если в результате опыта непременно должно произойти одно из этих событий. Например, при подбрасывании монеты множество {Г, Ц} (герб, цифра) – полная группа событий (падение на ребро и пр. считаем событиями невозможными). При бросании игральной кости множество {ω_i}⁶_i₌₁ – полная группа событий, ω_i - выпадение i очков.

Исходы опыта называют попарно несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе. Например, при одном бросании кости ω₁ и ω₂ – события несовместные.

Понятие равновозможности исходов опыта основывается на каких-либо соображениях симметрии. Например, если игральный кубик симметричный, то нет оснований считать, что шесть очков будет выпадать чаще, чем одно. События ω_i , i=1,2…6 – равновозможные.

Если некоторый исход опыта непременно влечет за собой осуществление события А, то этот исход называют благоприятным событием для события А. Пусть, например, А – выпадение четного числа очков при бросании кубика. Тогда ω₂, ω₄, ω₆ – благоприятные события для события А. Если событие ω не имеет благоприятных для себя исходов, за исключением самого себя, то оно называется элементарным.

Классическое определение вероятности

Определение

Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятных событию А исходов опыта к числу n всех исходов, образующих полную группу равновозможных и попарно несовместных событий, т.е.

Заметим, что классическое определение вероятности имеет смысл, если число исходов опыта конечное. Невозможному событию припишем нулевую вероятность, а вероятность достоверного события будем считать единицей, так что

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Пример 1. В сборочный цех поступило 3000 деталей с первого автомата и 2000 со второго. Первый автомат дает 0,4% брака, второй – 0,2%. Какова вероятность, что на сборку поступит бракованная деталь?

Решение. Число всех исходов n=3000+2000=5000. Пусть А означает, что на сборку поступила бракованная деталь Число благоприятных случаев

m=3∙10³∙4∙10^-3+2∙10³∙2∙10^-3=16.

Согласно формуле получим

Пример 2. Какова вероятность открыть буквенный замок, если он состоит из пяти дисков, каждый из которых разделен на 6 секторов с различными буквами?

Решение. Пусть событие А означает, что замок открыт. Число благоприятных случаев m=1, а число всех исходов опыта n=Ã₆⁵= 6⁵. Согласно формуле получим

Достоинством классического определения вероятности является то, что оно в основном правильно отражает наше интуитивное представление о вероятности реального случайного события. В то же время оно не может быть положено в основу математической дисциплины т.к. основано на понятии равновозможности (симметрии), проверить которую в рамках самой теории, не обращаясь к эксперименту, невозможно.

Безупречным с точки зрения математики является аксиоматическое определение вероятности. Задачу аксиоматического обоснования теории вероятностей поставил Гильберт, инициатором ее решения был Борель, а наиболее удачное аксиоматическое обоснование предложил Колмогоров. Чтобы рассмотреть подробнее аксиоматическое определение вероятности, следует ввести некоторые дополнительные понятия.

Вывод: таким образом, вероятность, есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Свойства вероятности

1. вероятность достоверного события равна 1

2. вероятность невозможного события равна 0

3. вероятность случайного события есть положительное число, заключенное в промежутке [0;1]

Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 102; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!