Связь вектора конечного поворота и кватернионов с направляющими косинусами

Для совмещения векторных базисов двух координатных трехгранников можно использовать один поворот на фиксированный угол θ вокруг оси, которая называется осью Эйлера и положение которой в пространстве определяется единичным вектором . Всю эту информацию предоставляет вектор конечного поворота:

,                                (7.6)

где  – проекции единичного вектора  на базисные векторы .

Для получения выражений, связывающих параметры вектора конечного поворота с направляющими косинусами, рассмотрим задачу поворота произвольного вектора  вокруг вектора конечного поворота  на угол θ, обозначив через  результирующий вектор.

       1. Разложим вектор  по базису ( , ), т.е. представим в виде суммы двух векторов по заданному базису (рис. 7.11):

,                                                            (7.7)

где: ;  - единичный вектор, перпендикулярный вектору .

Рис. 7.11. Разложение исходного вектора по базису

Представим скалярную величину r ₁ в виде скалярного произведения векторов:

,                                                                                      

а вектор  как двойное векторное произведение:

,                                                                            

причем легко видеть, что . Таким образом, выражения (7.7) запишется в следующем виде:

.                                             (7.8)

Примечание. Скалярное произведение двух векторов  есть скаляр , где g -угол между векторами. Векторное произведение  двух векторов есть вектор, модуль которого равен . Основные свойства векторного произведения:    .

       2. Осуществим поворот вектора  вокруг вектора  на угол θ. Очевидно, что при таком повороте (рис. 7.11) составляющая  не изменится, а составляющая  повернется в плоскости, перпендикулярной вектору , на угол θ. Обозначим этот повернутый вектор как , тогда:

.                                                                                  (7.9)

Для получения выражений для вектора  рассмотрим плоскость, перпендикулярную , в которой осуществляется поворот , и представим координатный базис этой плоскости в виде двух взаимно-перпендикулярных векторов, перпендикулярных также вектору . Такими векторами являются векторы  и  (рис. 7.12). Модули этих векторов равны между собой и равны .

Таким образом, искомый вектор  можно представить в следующем виде (рис. 7.12):

.                                      (7.10)

Рис.7.12. Разложение повернутого вектора по базису

3. Подставляя полученное выражение (7.10) в (7.9), найдем искомый вектор :

.                         

Заменим первое слагаемое правой части этой формулы на выражение, полученное из (7.8)

,

получим

,                            

или

,                           

или, окончательно

.                              (7.11)

Используя (7.11), получим искомые выражения, связывающие параметры вектора конечного поворота с направляющими косинусами. Рассмотрим две системы координат: первая из них имеет базис , вторая – базис . Ортогональное преобразование (поворот) первой системы координат во вторую запишем в векторно-матричном формализме через матрицу направляющих косинусов:

,                             (7.12)

где С – соответствующая матрица направляющих косинусов.

Осуществим также поворот базиса первой системы координат  в базис второй системы координат  с помощью вектора конечного поворота . Отметим очевидный факт, что проекции вектора конечного поворота одинаковы в обеих системах координат, поэтому проекции вектора  в обеих системах координат будем обозначать как:

.                                    (7.13)

Осуществим поворот трех векторов  вокруг вектора конечного поворота  на угол θ, в результате получим соответственно вектора . Связь этих векторов описывается выражениями (7.11):

,                                        

,                                (7.14)

.                                    

Преобразуем первое из выражений (7.25):

,

.

После подстановки в первое выражение (7.14) и группировки слагаемых имеем:

(7.15)

Преобразуем второе из выражений (7.14):

,

.

После подстановки во второе выражение (7.25) и группировки слагаемых имеем:

(7.16)

Преобразуем третье из выражений (7.14):

,

.

После подстановки во второе выражение (7.14) и группировки слагаемых имеем:

(7.17)

Запишем выражение (7.12) с учетом (7.15),(7.16),(7.17):

. (7.18)

Сопоставляя (7.12) и (7.18), получим выражения для элементов матрицы направляющих косинусов через параметры вектора конечного поворота:

. (7.19)

С помощью выражений (7.19) можно решить обратную задачу: выразить параметры вектора конечного поворота через элементы матрицы направляющих косинусов. Сумма элементов, стоящих на главной диагонали, равна: , откуда:

.                                                    (7.20)

Разность элементов матрицы направляющих косинусов, стоящих симметрично от главной диагонали, даст выражения проекций единичного вектора:

                   (7.21)

Полученные выражения (7.19)÷(7.21), связывающие параметры вектора конечного поворота с элементами матрицы направляющих косинусов, справедливы для всех таблиц 7.1÷7.16. Это очень важное замечание служит основой для построения алгоритмов обработки информации, использующих векторы конечных поворотов.

       С вектором конечного поворота непосредственно связаны параметры Родрига-Гамильтона, которые для вектора, заданного в виде (7.6), определяются так:

;            ;         ;        ,         (7.22)

удовлетворяя при этом условию нормировки:

.                                                       (7.23)

Для обеспечения компактности математических преобразований четверка параметров Родрига-Гамильтона записывается в виде гиперкомплексного числа – нормированного кватерниона , определяемого как

.                                         (7.24)

Здесь i , j , k – мнимые единицы, различающиеся между собой и удовлетворяющие условиям:

;     ;     ;

; ;   ;                                      (7.25)

;    ; .

Кватернион , соответствующий вектору конечного поворота , заданному в виде (7.6), может быть записан как

,                                                       (7.26)

при этом базисные векторы  формально заменяются на мнимые единицы i , j , k. Кватернион определяет ось вращения и угол поворота.

Поворот от одного координатного трехгранника к другому описывается соответствующим кватернионом. Умножение кватернионов ₁ и ₂ даёт такой результирующее вращение, как если бы объект сначала повернули на _1,  а затем на _2. При этом ₁× ₂ ¹ ₂× ₁. Сложение кватернионов даёт вращение, находящееся между этими двумя кватернионами. Из (7.19) и (7.22) можно получить выражения, связывающие параметры Родрига-Гамильтона с элементами соответствующей матрицы направляющих косинусов. Для этого воспользуемся формулами тригонометрии для двойных углов

,          ,           ,  

подставив которые в (7.19), нетрудно заметить, что, например, элемент матрицы С, лежащий на пересечении первой строки и первого столбца, запишется в виде

,

а на пересечении второй строки и первого столбца – в виде

.

Общий вид матрицы С при этом будет следующим:

.         (7.27)

Обратные соотношения, выражающие параметры Родрига-Гамильтона через элементы матрицы направляющих косинусов, получим из (7.20) и (7.21) с учетом тех же формул тригонометрии. Так, из (7.20) следует

,

а из (7.22) следует , откуда непосредственно вытекает вид формулы для q₀. Используя эту формулу, из (7.21) несложно выразить параметры q₁, q₂, q₃. Окончательно получим:

;                                                (7.28)

;   ;    .    (7.29)

Отметим, что подкоренное выражение в формуле (7.28) всегда неотрицательное, поэтому имеет смысл для любых вариантов взаимной ориентации двух трехгранников. При этом всегда q₀ ≥ 0, что соответствует диапазону значений угла θ от–π до π включительно. При θ = ±π величина q₀ = 0 и выражения (7.29) не определены. В этом случае параметры q₁, q₂, q₃ можно выразить из диагональных элементов матрицы С, записанной в виде (7.27):

;                    ;       .                               (7.30)

---

Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 404; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!