Связь между земными системами координат

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Преобразование координат некоторой точки из референцной системы, например системы 1942 г. с параметрами эллипсоида Ф.Н. Красовского в систему общеземного эллипсоида, например WGS-84, можно выполнить как в декартовых, так и в геодезических координатах.

Переход в декартовых координатах из системы А в систему Б выполняется по формулам Гельмерта

где Dx, Dy, Dz - линейные элементы трансформирования систем;

w_x, w_y, w_z - угловые элементы трансформирования систем координат;

m – масштабный элемент трансформирования систем координат .

Конкретные значения элементов приведенного выражения приведены в приложении к ГОСТ Р 51794-2008 г.

Очень часто используется преобразование в геодезических координатах B, L, H, при котором координаты в системе Б сразу получаются через координаты в системе А, минуя переход к прямоугольным координатам.

B_Б= B_А + D B,

L_Б= L_А + D L,

H_Б= H_А + D H.

Поправки определяются по методу Молоденского. Полные формулы приведены в п. 6.3 ГОСТ Р 51794-2008 г

Связь между прямоугольными и геодезическими (географическими) координатами.

В соответствии с Рисунком 1.4 точка М удовлетворяет уравнению эллипса

(1.1)

дифференцируя это уравнение по Х, получим

Для установления связи координат x, z с геодезической широтой воспользуемся геометрическим смыслом первой производной. Если задано уравнение плоской кривой z = f (x), то первая производная dz/dx равна тангенсу угла, образованного касательной к кривой в данной точке с положительным направлением оси абсцисс. Применительно к Рисунку 1.2 можем записать

, (1.2)

отсюда: или (1.3)

Подставим сюда значение b из (1.0) получим

(1.4)

Исключим Z из уравнения (1.1), при этом учтём значение b из (1.0), получим

, отсюда

, или

(1.5)

Выражение для Z получим подстановкой (1.5) в (1.4)

(1.6)

При наличии высоты h координаты точки М _h выражаются через координаты М, исходя из Рисунка 1.3, в следующем виде

(1.7)

Рисунок 1.4

Из Рисунка 1.4 очевидно, что координата X точки М определяется выражением

Сравнивая правые части данного уравнения и уравнения (1.5), получим

Введём обозначение

, тогда . (1.8)

В дальнейшем будет понятен смысл параметра N.

С учётом (1.5), (1.6) и (1.7) будем иметь

(1.9)

Попутно отметим, что . (1.10)

Для пространственных прямоугольных координат имеют место те же формулы преобразования с тем отличием, что координаты X и Y получаются из Х_hпроектированием на плоскость нулевого меридиана и перпендикулярную ей. Соответствующие формулы согласно ГОСТ Р51794-2008 имеют следующий вид

(1.11)

где

На практике иногда возникает задача вычисления координат j, l, h по известным X, Y, Z. Рассмотрим вывод формул для решения этой задачи. Разделив второе уравнение (1.11) на первое, получаем

Возведя в квадрат первые два уравнения ( 1.11 ) и найдя их сумму, получаем уравнение

которое совместно с третьим из системы (1. 11) приводит к уравнению

Это уравнение позволяет вычислить геодезическую широту методом последовательных приближений, которые будут сходящимися. Так, если требуется вычислить широту с точностью до 0. 0001^//, достаточно трех приближений. Координата h легко получается из любого из уравнений.

В общем виде преобразование координат можно представить в виде, представленном на рисунке 1.5. Вертикальные преобразования из одного представления в другой называются перевычислением, а горизонтальные преобразования называются трансформацией.

Рис. 1.5. Связь между земными системами координат

Связь между геоцентрической широтой j ¢ и географической широтой j.

В соответствии с (1.3)

Из Рисунка 1.3 очевидно: следовательно

(1.12)

Эта формула точная. Её можно упростить.

, воспользовавшись соотношением

получим

Введем , тогда , отсюда

, (1.13)

аналогично:

= .

Если выразить в этих формулах е² через a, то после упрощения получим

(1.14)

При этом ошибка вычисления составляет 1 ¸2 ².

Зависимость поправки от высоты

Для точки вблизи эллипсоида, находящейся на высоте h над его поверхностью, величина должна иметь некоторую поправку

Рисунок 1.6

Из Рисунка 1.6 видно: По теореме синусов из треугольника ОММ _h имеем

Будем считать OM_h ≈ R+ h, где R- радиус Земли, тогда

отсюда .

Не будет большой ошибкой, если представить эту формулу в виде .

Таким образом, действительное значение на высоте h будет определяться выражением

. (1.15)

Значение поправки не велико: так, на широте 45° и высоте 10 км = 1,09². Поэтому осуществлять учет высоты при пересчетах между и имеет смысл, если требуется точность свыше 30м и преобразования производятся по точным формулам.