Индивидуальные задания для контрольной работы.
Задача № 1. Вычислить неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.
1.1. 
.
1.2. 
.
1.3. 
.
1.4. 
.
1.5. 
.
1.6. 
.
1.7. 
.
1.8. 
.
1.9. 
.
1.10. 
.
1.11. 
.
1.12. 
.
1.13. 
.
1.14. 
.
1.15. 
.
1.16. 
.
1.17. 
.
1.18. 
.
1.19. 
.
1.20. 
.
1.21. 
.
1.22. 
.
1.23. 
.
1.24. 
.
1.25. 
.
1.26. 
.
1.27. 
.
1.28. 
.
1.29. 
.
1.30. 
.
Задача № 2. Вычислить неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.
2.1. 
.
2.2. 
.
2.3. 
.
2.4. 
.
2.5. 
.
2.6. 
.
2.7. 
.
2.8. 
.
2.9. 
.
2.10. 
.
2.11. 
.
2.12. 
.
2.13. 
.
2.14. 
.
2.15. 
.
2.16. 
.
2.17. 
.
2.18. 
.
2.19. 
.
2.20. 
.
2.21. 
.
2.22. 
.
2.23. 
.
2.24. 
.
2.25. 
.
2.26. 
.
2.27. 
.
2.28. 
.
2.29. 
.
2.30. 
.
Задача № 3. Вычислить неопределенный интеграл методом замены переменной.
3.1. 
.
3.2. 
.
3.3. 
.
3.4. 
.
3.5. 
.
3.6. 
.
3.7. 
.
3.8. 
.
3.9. 
.
3.10. 
.
3.11. 
.
3.12. 
.
3.13. 
.
3.14. 
.
3.15. 
.
3.16. 
.
3.17. 
.
3.18. 
.
3.19. 
.
3.20. 
.
3.21. 
.
3.22. 
.
3.23. 
.
3.24. 
.
3.25. 
.
3.26. 
.
3.27. 
.
3.28. 
.
3.29. 
.
3.30. 
.
Задача № 4. Вычислить неопределенный интеграл методом замены переменной.
4.1. 
.
4.2. 
.
4.3. 
.
4.4. 
.
4.5. 
.
4.6. 
.
4.7. 
.
4.8. 
.
4.9. 
.
4.10. 
.
4.11. 
.
4.12. 
.
4.13. 
.
4.14. 
.
4.15. 
.
4.16. 
.
4.17. 
.
4.18. 
.
4.19. 
.
4.20. 
.
4.21. 
.
4.22. 
.
4.23. 
.
4.24. 
.
4.25. 
.
4.26. 
.
4.27. 
.
4.28. 
.
4.29. 
.
4.30. 
.
Задача № 5. Вычислить неопределенный интеграл от рациональной дроби, предварительно выделив целую часть.
5.1. 
.
5.2. 
.
5.3. 
.
5.4. 
.
5.5. 
.
|
|
|
5.6. 
.
5.7. 
.
5.8. 
.
5.9. 
.
5.10. 
.
5.11. 
.
5.12. 
.
5.13. 
.
5.14. 
.
5.15. 
.
5.16. 
.
5.17. 
.
5.18. 
.
5.19. 
.
5.20. 
.
5.21. 
.
5.22. 
.
5.23. 
.
5.24. 
.
5.25. 
.
5.26. 
.
5.27. 
.
5.28. 
.
5.29. 
.
5.30. 
.
Задача № 6. Вычислить неопределенный интеграл методом интегрирования по частям.
6.1. 
.
6.2. 
.
6.3. 
.
6.4. 
.
6.5. 
.
6.6. 
.
6.7. 
.
6.8. 
.
6.9. 
.
6.10. 
.
6.11. 
.
6.12. 
.
6.13. 
.
6.14. 
.
6.15. 
.
6.16. 
.
6.17. 
.
6.18. 
.
6.19. 
.
6.20. 
.
6.21. 
.
6.22. 
.
6.23. 
.
6.24. 
.
6.25. 
.
6.26. 
.
6.27. 
.
6.28. 
.
6.29. 
.
6.30. 
.
Задача № 7. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной.
7.1. 
.
7.2. 
.
7.3. 
.
7.4. 
.
7.5. 
.
7.6. 
.
7.7. 
.
7.8. 
.
7.9. 
.
7.10. 
.
7.11. 
.
7.12. 
.
7.13. 
.
7.14. 
.
7.15. 
.
7.16. 
.
7.17. 
.
7.18. 
.
7.19. 
.
7.20. 
.
7.21. 
.
7.22. 
.
7.23. 
.
7.24. 
.
7.25. 
.
7.26. 
.
7.27. 
.
7.28. 
.
7.29. 
.
7.30. 
.
Задача № 8. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям.
8.1. 
.
8.2. 
.
8.3. 
.
8.4. 
.
8.5. 
.
8.6. 
.
8.7. 
.
8.8. 
.
8.9. 
.
8.10. 
.
8.11. 
.
8.12. 
.
8.13. 
.
8.14. 
.
8.15. 
.
8.16. 
.
8.17. 
.
8.18. 
.
8.19. 
.
8.20. 
.
8.21. 
.
8.22. 
.
8.23. 
.
8.24. 
.
8.25. 
.
8.26. 
.
8.27. 
.
8.28. 
.
8.29. 
.
8.30. 
.
Задача № 9. Вычислить несобственный интеграл
9.1. 
.
9.2. 
.
9.3. 
.
9.4. 
.
9.5. 
.
9.6. 
.
9.7. 
.
9.8. 
.
9.9. 
.
|
|
|
9.10. 
.
9.11. 
.
9.12. 
.
9.13. 
.
9.14. 
.
9.15. 
.
9.16. 
.
9.17. 
.
9.18. 
.
9.19. 
.
9.20. 
.
9.21. 
.
9.22. 
.
9.23. 
.
9.24. 
.
9.25. 
.
9.26. 
.
9.27. 
.
9.28. 
.
9.29. 
.
9.30. 
.
Задача № 10. Вычислить (с точностью до 0,01) площадь фигуры, ограниченной линиями
10.1. 
.
10.2. 
.
10.3. 
.
10.4. 
.
10.5. 
.
10.6. 
.
10.7. 
.
10.8. 
.
10.9. 
.
10.10. 
.
10.11. 
.
10.12. 
.
10.13. 
.
10.14. 
.
10.15. 
.
10.16. 
.
10.17. 
.
10.18. 
.
10.19. 
.
10.20. 
.
10.21. 
.
10.22. 
.
10.23. 
.
10.24. 
.
10.25. 
.
10.26. 
.
10.27. 
.
10.28. 
.
10.29. 
.
10.30. 
.
Задача № 11. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
11.1. а) 
; б) 
.
11.2. а) 
; б) 
.
11.3. а) 
; б) 
.
11.4. а) 
; б) 
.
11.5. а) 
; б) 
.
11.6. а) 
; б) 
.
11.7. а) 
; б) 
.
11.8. а) 
; б) 
.
11.9. а) 
; б) 
.
11.10. а) 
; б) 
.
11.11. а) 
; б) 
.
11.12. а) 
; б) 
.
11.13. а) 
; б) 
.
11.14. а) 
; б) 
.
11.15. а) 
; б) 
.
11.16. а) 
; б) 
.
11.17. а) 
; б) 
.
11.18. а) 
; б) 
.
|
|
|
11.19. а) 
; б) 
.
11.20. а) 
; б) 
.
11.21. а) 
; б) 
.
11.22. а) 
; б) 
.
11.23. а) 
; б) 
.
11.24. а) 
; б) 
.
11.25. а) 
; б) 
.
11.26. а) 
; б) 
.
11.27. а) 
; б) 
.
11.28. а) 
; б) 
.
11.29. а) 
; б) 
.
11.30. а) 
; б) 
.
Задача № 12. Найти решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения.
12.1. 
.
12.2. 
.
12.3. 
.
12.4. 
.
12.5. 
.
12.6. 
.
12.7. 
.
12.8. 
.
12.9. 
.
12.10. 
.
12.11. 
.
12.12. 
.
12.13. 
.
12.14. 
.
12.15. 
.
12.16. 
.
12.17. 
.
12.18. 
.
12.19. 
.
12.20. 
.
12.21. 
.
12.22. 
.
12.23. 
.
12.24. 
.
12.25. 
.
12.26. 
.
12.27. 
.
12.28. 
.
12.29. 
.
12.30. 
.
Задача № 13. Найти решение задачи Коши методом понижения порядка.
13.1. 
.
13.2. 
.
13.3. 
.
13.4. 
.
13.5. 
.
13.6. 
.
13.7. 
.
13.8. 
.
13.9. 
.
13.10. 
.
13.11. 
.
13.12. 
.
13.13. 
.
13.14. 
.
13.15. 
.
13.16. 
.
13.17. 
.
13.18. 
.
13.19. 
.
13.20. 
.
13.21. 
.
13.22. 
.
13.23. 
.
13.24. 
.
13.25. 
.
13.26. 
.
13.27. 
.
13.28. 
.
13.29. 
.
13.30. 
.
Задача № 14. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
14.1. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.2. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.3. а) 
;
б) 
;
|
|
|
в) 
.
14.4. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.5. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.6. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.7. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.8. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.9. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.10. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.11. а) 
;
б) 
;
в) .
14.12. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.13. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.14. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.15. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.16. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.17. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.18. а) ;
б) 
;
в) 
.
14.19. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.20. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.21. а) 
;
б) 
;
в) .
14.22. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.23. а) 
;
б) 
;
в) .
14.24. а) 
;
б) ;
в) 
.
14.25. а) 
;
б) 
;
в) .
14.26. а) ;
б) 
;
в) .
14.27. а) ;
б) ;
в) .
14.28. а) ;
б) ;
в) 
.
14.29. а) 
;
б) 
;
в) 
.
14.30. а) 
;
б) ;
в) .
Задача № 15. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
15.1. 
, если
а) 
, б) 
.
15.2. 
, если
а) 
, б) 
.
15.3. 
, если
а) 
, б) 
.
15.4. 
, если
а) 
, б) 
.
15.5. 
, если
а) 
, б) 
.
15.6. 
, если
а) 
, б) 
.
15.7. 
, если
а) 
, б) 
.
15.8. 
, если
а) 
, б) 
.
15.9. 
, если
а) 
, б) 
.
15.10. 
, если
а) 
, б) 
.
15.11. 
, если
а) 
, б) 
.
15.12. 
, если
а) 
, б) 
.
15.13. 
, если
а) 
, б) 
.
15.14. 
, если
а) 
, б) 
.
15.15. 
, если
а) 
, б) 
.
15.16. 
, если
а) 
, б) 
.
15.17. 
, если
а) 
, б) 
.
15.18. 
, если
а) 
, б) .
15.19. 
, если
а) 
, б) 
.
15.20. 
, если
а) 
, б) 
.
15.21. 
, если
а) 
, б) 
.
15.22. 
, если
а) 
, б) 
.
15.23. , если
а) 
, б) 
.
15.24. 
, если
а) 
, б) 
.
15.25. 
, если
а) 
, б) 
.
15.26. 
, если
а) 
, б) 
.
15.27. , если
а) 
, б) 
.
15.28. 
, если
а) 
, б) 
.
15.29. 
, если
а) 
, б) 
.
15.30. 
, если
а) 
, б) 
.
4. Решение типового варианта.
Задача № 1. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение. Представим подынтегральную функцию в виде суммы, разделив почленно числитель на 
, а затем применим свойства и таблицу интегралов.
.
Задача № 2. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение. Приведем данный интеграл к табличному виду, воспользуемся свойством 6 и таблицей интегралов.
.
Задача № 3. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение. Учитывая, что 
, то удобно выполнить замену переменной по формуле (1.1). Пусть 
, тогда 
и 
. Получим
Задача № 4. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение. Представим данный интеграл в виде разности двух интегралов.
.
В первом интеграле выполним замену переменной: 
, тогда 
и 
. Второй интеграл легко сводится к табличному. Получим:
Задача № 5. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение. Подынтегральная функция представляет собой неправильную рациональную дробь. Выделим целую часть дроби:
.
Получим
.
Задача № 6. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение. Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям (1.2). Положим: 
, а 
, тогда 
и 
.
Получим
.
Задача № 7. Вычислить определенный интеграл
.
Решение. По формуле (1.5) выполним замену переменной в определенном интеграле. Пусть 
, тогда 
и 
. Заменим пределы интегрирования: 
, 
.
Применяя формулу Ньютона–Лейбница, получим
.
Задача № 8. Вычислить определенный интеграл
.
Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям для определенного интеграла (1.4).
.
Задача № 9. Вычислить несобственный интеграл
.
Решение. Выполним сначала замену переменной. Пусть 
, тогда 
. Изменим пределы интегрирования: 
, 
. Затем применим формулу (1.8). Получим
.
Задача № 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
.
Решение. Определим пределы интегрирования. Для этого найдём точки пересечения графиков функций : 
.
Фигура ограничена сверху графиком функции 
, снизу – графиком функции 
. Поэтому, согласно формуле (1.7) получим
.
Ответ: 
(кв.ед.)
Задача № 11. Найти общее решение дифференциального уравнения
а) 
.
Решение. Учитывая, что 
, сведем данное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными:
.
Интегрируем полученное уравнение:
.
Общее решение в итоге имеет вид: 
.
б) 
.
Решение. Преобразуем это уравнение к виду (2.1). Получим уравнение с разделяющимися переменными
,
,
.
Разделим получившееся уравнение на 
. Получим:
.
Проинтегрируем:
,
где 
.
Применяя свойства логарифма, получим общее решение: 
.
Задача № 12. Найти решение задачи Коши
.
Решение. Данное уравнение является линейным. Преобразуем его к виду (2.5), разделив на 
. Получим
.
Решим это уравнение методом Бернулли. Выполним замену: 
, 
, где 
и 
– неизвестные функции, одна из которых произвольная. Пусть – произвольная функция, тогда после подстановки 
и 
получим:
или 
. (*)
Одно из возможных значений найдем из уравнения
или 
.
Разделяем переменные и интегрируем:
.
Подставим найденную функцию в уравнение (*) и найдем функцию .
.
Интегрируя, получим
.
Искомое общее решение принимает вид
или 
.
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию 
.
Тогда решение задачи Коши имеет вид: 
.
Задача № 13. Найти решение задачи Коши
.
Решение. Это уравнение второго порядка. Его решение будем искать путем 2-кратного интегрирования:
.
Найдем значение произвольной постоянной 
из условия 
:
.
Тогда получим: 
.
Интегрируя эту функцию, найдем общее решение исходного уравнения
.
Определим значение 
. Т.к. 
, то получим:
.
Решение задачи Коши, т.е. решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид:
.
Задача № 14. Найти общее решение дифференциального уравнения
а) ; б) 
; в) 
.
Решение. Данные уравнения являются линейными однородными уравнениями с постоянными коэффициентами. Общее решение имеет вид: 
, где 
и 
– частные решения этих уравнений и их вид зависит от решения характеристических уравнений.
а) .
Составим и решим характеристическое уравнение:
.
Т.к. корни уравнения действительные не совпадающие числа, то согласно (2.14) получим:
.
Общее решение имеет вид: 
.
б) .
Решаем характеристическое уравнение:
.
Получили совпадающие действительные корни и по формуле (2.15) имеем:
.
Получим общее решение: 
или 
.
в) .
Решаем характеристическое уравнение:
.
Получили комплексно сопряженные корни и согласно (2.16) имеем:
.
Общее решение имеет вид:
или 
.
Задача № 15. Найти общее решение дифференциального уравнения
, если а) 
, б) .
Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами. Структура общего решения, согласно (2.18) имеет вид: 
. Общее решение однородного уравнения, а именно 
, в обоих случаях одно и то же. Найдем его, решая однородное уравнение 
.
Решим характеристическое уравнение:
.
Тогда 
.
Найдем теперь 
.
а) Так как и 
не является корнем характеристического уравнения, т.е. кратность его 
, и 
– многочлен первой степени, то по формуле (2.19) получим:
или 
.
Для определения 
и 
найдем 
и 
:
,
.
Подставим , и в исходное уравнение
.
Сократим на 
и приведем подобные слагаемые
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях 
в левой и правой части и решим получившуюся систему
Тогда 
или 
.
Общее решения принимает вид: 
.
б) Функцию легко свести к специальному виду, а именно к виду 
. Т.к. 
не является корнем характеристического уравнения, т.е. кратность его , то по формуле (2.20) получим
или 
.
Найдем и , и подставим , и в исходное уравнение
; 
.
Тогда 
,
или
.
Приравниваем коэффициенты при одноименных тригонометрических функциях левой и правой частях. Решим получившуюся систему
Тогда 
.
Запишем общее решение: 
.
5. Литература.
а) Список использованной литературы
1. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 2. Под ред. Рябушко А.П.– Минск: Вышэйшая школа, 1990.
2. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. ТР. М.: Высшая школа, 1983 г., 2005 г.
3. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1; 2. М.: Высшая школа, 1980 г.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.
Т. 1; 2. М.: Наука, 1978 г.
б) Список рекомендуемой литературы
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.
Т. 1; 2. М.: Наука, 1978 г.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1980 г.
3. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1; 2. М.: Высшая школа, 1980 г.
4. Письменый Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс/Д.Т. Письменный. – 4-е изд. – М: Айрис-пресс, 2006. 608 с.
5. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. ( Серия "решебник") 2-е изд., испр. – М.: Физико-математическая литература, 2001. – 368 с. (Решебник.) URL: http://www.alleng.ru/d/math/math164.htm
6. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. 4-е изд., М.: Высшая школа, 1966. - 464с. URL: http://www.alleng.ru/d/math/math24.htm
7. Смолянский М.Л. Таблицы неопределенных интегралов. 2-е изд., испр. - М.: Гос. изд. физ-мат. лит., 1963. - 112с. URL: http://www.alleng.ru/d/math/math208.htm
Оглавление
1. Интегральное исчисление функции одного действительного
аргумента …………………………………………………………......3
2. Дифференциальные уравнения…………………………………..….9
3. Индивидуальные задания для контрольной работы………………14
4. Решение типового варианта……………………………………..….35
5. Литература………………………………………………………...…46
Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 42; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!