Дифференциальные уравнения первого порядка.

    Уравнение вида , где  – независимая переменная,   – искомая функция,  – её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

    Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция, которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество.

Условие, что при  функция  называется начальным условием.

Функция, , содержащая одну произвольную постоянную называется общим решением. Функция , полученная из общего решения и удовлетворяющая начальному условию, называется частным решением.

Рассмотрим методы интегрирования некоторых уравнений первого порядка.

Уравнение с разделяющимися переменными – это уравнение вида:

                         ,                                      (2.1)

где , ,  и  – известные функции, зависящие только от  или .

Если ни одна из этих функций не равна тождественно нулю, то разделив уравнение (2.1) на , получим уравнение с разделенными переменными:

.                                                    (2.2)

Проинтегрировав это уравнение, получим общее решение исходного уравнения:

.                                             (2.3)

 

Уравнение  сводится к уравнению с разделенными переменными. Учитывая, что , получим уравнение вида:

.                                                         (2.4)

Линейное уравнение – это уравнение вида:

,                                                      (2.5)

где  и  – заданные функции.

Для решения его рассмотрим метод Бернулли. Выполним подстановку , где  и  – две неизвестные функции, причем одна из которых произвольная. Тогда уравнение (2.5) сводится у виду

   или    .   (2.6)

Предполагая, что  – произвольная функция, найдем одно из ее решений из уравнения , например,

.                                                                       (2.7)

Тогда уравнение (2.6) сведется к виду:

или , т.е. .                         (2.8)

Решая уравнение (2.8), получим:

.                                                       (2.9)

Общее решение исходного уравнения находится умножением  на :

.                                          (2.10)

 

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Общий вид уравнения второго порядка: .

Начальные условия принимают вид:  и .

Общим решением является функция , содержащая две произвольных постоянных  и . Частным решением называется функция , полученное из общего решения, удовлетворяющее начальным условиям.

Рассмотрим только некоторые уравнения второго порядка.

Уравнения вида . Решение этого уравнения находится 2-кратным интегрированием, а именно: ,

, .         (2.11)

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Это уравнения вида:

,                                                      (2.12)

где  и  – некоторые действительные числа.

Общим решением является функция , где  и  – частные решения уравнения (2.12). Для их определения решаем характеристическое уравнение

.                                                          (2.13)

Пусть  и  – корни уравнения (2.13), тогда возможны следующие случаи:

1) если  и  – действительные числа, причем , тогда:

и ;                                                             (2.14)

2) если  и  – действительные числа, и , тогда:

и ;                                                           (2.15)

3) если  и  – комплексные числа, т.е. , тогда:

 и .                                              (2.16)

 

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения имеют вид:

,   где  – заданная функция.                 (2.17)

Структура общего решения уравнения (2.17) определяется следующим образом:

,                                                                   (2.18)

где  – общее решение однородного уравнения (2.12), которые определяются по формулам (2.14)–(2.16), а  – частное решение уравнения (2.17).

Метод нахождения частного решения  зависит от функции . Остановимся только на случае, когда  – функция специального вида.

1) Пусть , где  – действительное число, а  – многочлен степени . Частное решение ищем в виде

,                                                             (2.19)

где  – число, равное кратности  как корня характеристического уравнения (2.13), а  – многочлен степени  с неопределенными коэффициентами .

 Для определения этих коэффициентов, подставим  в уравнение (2.17), сократим на . Получим слева многочлен степени  с неопределенными коэффициентами , справа – многочлен степени , но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов .

2) Пусть , где , ,  и  – действительные числа. Тогда частное решение ищем в виде

,                                             (2.20)

где  – число, равное кратности  как корня характеристического уравнения (2.13), а  и  – неопределенные коэффициенты.

После подстановки  в уравнение (2.17) и сократив на , приравниваем коэффициенты, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой части уравнения.

Замечание: форма (2.20) частного решения сохраняется и в случаях, когда  или .

---

Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 80; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!