Взаимное расположение прямых на плоскасти, заданных различными уравнениями
Аналитическая геометрия
Прямая на плоскасти
В декартовой системе координат на плоскости каждая прямая определяется уравнением 1–й степени и, обратно, каждое уравнение 1–й степени определяет прямую.
Уравнение вида Ax + By + Cz = 0 ( A2 + B2 ≠ 0 ) называетсяобщим уравнением прямой.
Любой вектор, перпендикулярный прямой, называетсянормальным вектором и обозначается →n. Например, →n = {A, B}.
Угловым коэффициентом k прямой называется число k = tgα , где α — угол наклона прямой к оси OX (0 ≤ α < π).
Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (b — ордината точки пересечения прямой с осью OY).
Уравнение прямой x/a + y/b = 1 называется уравнением прямой в отрезках (a — абсцисса точки пересеченияпрямой с осью OX, b — ордината точки пересечения прямой с осью OY).
Уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), имеет вид
(y − y1) /(y2 − y1)=(x − x1)/(x2 − x1)
Угол между прямыми с угловыми коэффициентами k1 и k2 определяетсяформулой:
tgj = (k2 − k1)/(1 + k1k2)
Условие параллельности прямых: k1 = k2
Условие перпендикулярности прямых: k1k2 = −1
Различные уравнения прямой и их вывод
1. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
|
|
|
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
уравнение прямой на плоскостиесли х 1 ≠ х2 и х = х 1 , если х 1 = х2 .
Дробь 
угловой коэффициент= k называется угловым коэффициентом прямой.
3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить 
, то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .
4. Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:
или
уравнение прямой в отрезках, где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
|
|
|
5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
Прямая, проходящая через точку М1 (х1 , у1 ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:
Взаимное расположение прямых на плоскасти, заданных различными уравнениями
1. A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0
1) A1/A2 не равно B1/B2 - пересекает;
2) A1/A2=B1/B2 не равно C1/C2 - перпендекулярны;
3) A1/A2=B1/B2=C1/C2 - совпадают.
2. y=kx+b
1) k1 не равно k2 - пересекают;
2) k1=k2 и b1 не равно b2 - перпендекулярны;
3) k1=k2 и b1=b2 - совпадают;
3. (x-x0)/m=(y-y0)/p
1)m1/m2 не равно p1/p2 - пересекает;
2)m1/m2=p1/p2 - перпендекулярны;
3)Чтобы определить, совпадают ли они, необходимо выяснить, имеют ли они общую точку.
Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 84; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!