II. Характеристическое уравнение имеет д в а р азличных д ействительных к орня, один и з которых равен нулю.

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html Автор: Емелин А.

В к аком виде и скать частное ре ш е ние линейного неоднородного ди фференциального уравнения

с п остоянными к оэффициентами y¢¢+ py¢+ qy = f (x)?

После долгих раздумий я принял решение создать отдельную справочную таблицу для подбора частного решения неоднородного ДУ. В методический материал сведены практически все типовые ситуации, которые могут встретиться на практике, кроме того, приведены случаи подбора частного решения для уравнений повышенной сложности.

Как всегда объяснения ведутся на конкретных примерах с минимумом формул и параметров. Обязательно прочитайте выводы на последней странице!!!

I. Характеристическое уравнение и меет д ва различных действительных корня, отличных от нуля.

Пример: Рассмотрим неоднородное уравнение y¢¢+ y¢- 2y = f (x)

Для соответствующего однородного уравнения y¢¢+ y¢- 2y = 0 составим характеристическое уравнение l2 +l -2 = 0 и найдём его корни: 1 = -2, l2 =1

Итак, получены различные действительные корни, среди которых нет нуля.

Правая часть f (x)

1. f (x) = 4 (или другая

ненулевая константа) 2. f (x) = 3x -1

В к аком виде н ужно и скать частное р ешение ~ неоднородного уравнения?

~ = A

~ = Ax + B

3. f (x) = x2 - x

4. f (x) = 4x3 +3x2 +1

~ = Ax2 + Bx +C

y = Ax3 + Bx2 +Cx + D

Примечание: Обратите внимание, что когда в правой части f (x) находится неполный многочлен, то частное решение подбирается без пропусков степеней, пример: f (x) = -5x

Это многочлен первой степени, и в нём отсутствует константа. Однако при подборе частного решения константу пропускать нельзя, то есть частное решение необходимо искать в виде

y = Ax + B

5. f (x) = 2e3x

6. f (x) = (2x -3)e-x

7. f (x) = x e-2x

Коэффициент в показателе экспоненты: не совпадает с корнем характеристического уравнения 1 = -2 или l2 =1

Подбор выполняем очевидным образом: y = Ae3x

Коэффициент в показателе экспоненты: не совпадает с корнем характеристического уравнения 1 = -2 или l2 =1

Подбор выполняем очевидным образом: y = (Ax + B)e-x

Коэффициент в показателе экспоненты: совпал с корнем характеристического уравнения 1 = -2. В подобной ситуации «штатный» подбор y = (Ax + B)e-2x нужно домножить на «икс»:

y = x(Ax + B)e-2x , то есть, искать частное решение в виде:

y = (Ax2 + Bx)e-2x

Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта

Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html Автор: Емелин А.

8. f (x) = e x

Коэффициент в показателе экспоненты: совпал с корнем характеристического уравнения l2 =1. Аналогично: «штатный» подбор ~ = Ae x домножаем на «икс»: y = x× Ae x , то есть ищем

частное решение в виде: ~ = Axe x

Примечание: Обратите внимание, что опять же в случае неполных многочленов степени не теряются, например, если f (x) = 7x2e5x (в многочлене отсутствует «икс» в первой степени и константа), то частное решение следует искать в виде y = (Ax2 + Bx +C)e5x .

Если f (x) = (1- x2)e-2x (в многочлене отсутствует «икс» в первой степени), то частное решение ищем в виде ~ = x(Ax2 + Bx +C)e-2x = (Ax3 + Bx2 +Cx)e-2x

9. f (x) = sin x ~ = Acosx + Bsin x 10. f (x) = -3cos2x ~ = Acos2x + Bsin2x 11. f (x) = 2cos3x - 4sin3x ~ = Acos3x + Bsin3x

Примечание: В подборе частного решения всегда д олжен присутствовать и синус и косинус (даже если в правую часть f (x) входит только синус или только косинус).

Редко, но встречаются следующие похожие случаи:

12. f (x) = -xsin5x y = (Ax + B)cos5x + (Cx + D)sin5x

13. f (x) = (x -1)cos x

14. f (x) = xcosx + 2sin x

~ = (Ax + B)cos x + (Cx + D)sin x

y = (Ax + B)cosx + (Cx + D)sin x

И заключительные примеры, здесь тоже всё прозрачно: 15. f (x) = 2e x sin2x y = e x (Acos2x + Вsin2x)

16. f (x) = 1e-3x sin x

17. f (x) = e-2x (5sin3x -cos3x)

y = e-3x (Acosx + Вsin x)

y = e-2x (Acos3x + Вsin3x)

Примечание: в примерах 15-17 хоть и есть экспонента, но корни характеристического уравнения 1 = -2, l2 =1 нас уже совершенно не волнуют – подбор частного решения идёт штатным образом

без всяких домножений на «икс».

Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта

Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html Автор: Емелин А.

II. Характеристическое уравнение имеет д в а р азличных д ействительных к орня, один и з которых равен нулю.

Как правило, в таком диффуре отсутствует функция «игрек».

Пример: Рассмотрим подопытное неоднородное уравнение y¢¢+3y¢ = f (x).

Для соответствующего однородного уравнения y¢¢+3y¢ = 0 составим характеристическое

уравнение 2 +3 = 0 и найдем его корни: 1 = -3, l2 = 0

Получены различные действительные корни, один из которых равен нулю.

~ ~

Правая часть f (x)

В к аком виде н ужно и скать частное р ешение ~

Неоднородного уравнения?

Правило: Если в правой части f (x) находится ненулевая константа или многочлен, и один из

корней характеристического уравнения равен нулю, то «очевидный» подбор частного решения необходимо домножить на «икс»:

18. f (x) = -10 y = x× A, то есть частное решение ищем в виде y = Ax

19. f (x) = -2x 20. f (x) = x2 +3

21. f (x) = x3

~ = x×(Ax + B), т.е. частное решение ищем в виде ~ = Ax2 + Bx

y = x×(Ax2 + Bx +C) или y = (Ax3 + Bx2 +Cx)

~ = x×(Ax3 + Bx2 +Cx + D) или y = (Ax4 + Bx3 +Cx2 + Dx)

Если в пр авую часть в ходит экспонента и л и экспонента, умноженная на многочлен, то подбор частного решения следует проводить по тем же принципам, по которым он проведён в примерах №№5-8.

На всякий случай еще пара примеров:

22. f (x) = (x2 + 2x)e3x

23. f (x) = (1- x)e-3x

Коэффициент в показателе экспоненты: не совпадает с корнем характеристического уравнения 1 = -3

y = (Ax2 + Bx +C)e3x

Коэффициент в показателе экспоненты: совпал с корнем характеристического уравнения 1 = -3. Поэтому «обычный» подбор y = (Ax + B)e-3x нужно домножить на «икс»:

y = x(Ax + B)e-3x , то есть, искать частное решение в виде:

y = (Ax2 + Bx)e-3x

Если правая часть f (x) имеет вид из примеров №№9-17, то подбор осуществляется точно так же, как уже разобрано – в штатном режиме (см. Раздел I).

Дополнительный п ример:

Рассмотрим дифференциальное уравнение третьего порядка: y¢¢¢- y¢¢ = f (x) . Для соответствующего однородного уравнения y¢¢¢- y¢¢ = 0 составим характеристическое уравнение

3 - 2 = 0 и найдем его корни: 1,2 = 0, 3 =1.

Если получено д ва кратных нулевых корня и в правой части f (x) находится многочлен

(аналогично примерам №№18-21), то «штатный» подбор нужно домножать уже на x2 . Например, если f (x) = 3x , то частное решение следует искать в виде:

y = x2 ×(Ax + B) = (Ax3 + Bx2)

Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта

Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html Автор: Емелин А.

Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 55; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!