Пространственная передаточная функция МАИ в полярной системе координат
Для описания МАИ, имеющего осевую симметрию, как, например, секторного растра, представленного на рис. 2.4.6, удобнее использовать полярную систему координат.
Рис. 2.4.6. Транспарант МАИ с осевой симметрией
Введём функцию 
, которая описывает пропускание прозрачного «нулевого» элемента такого транспаранта МАИ в полярной системе координат. Функцию пропускания k-го элемента можно выразить через функцию пропускания нулевого элемента, а именно,
.
Функция пропускания всего транспаранта МАИ, состоящего из N прозрачных элементов, может быть записана как
. (2.4.13)
Вычислим преобразование Фурье функции пропускания нулевого элемента транспаранта МАИ, которая задана в полярной системе координат. Для этого запишем сначала преобразование Фурье нулевого элемента транспаранта в декартовой системе координат, а затем перейдём к полярным координатам. Преобразование Фурье функции пропускания нулевого элемента транспаранта МАИ в декартовой системе координат имеет вид
. (2.4.14)
Связь координат точек 
и 
в декартовой и полярной системах координат координатной и частотной областях описания поясняется рис. 2.4.7.
Рис. 2.4.7. Пояснение к зависимости между декартовыми и полярными координатами в координатной и пространственно-частотной областях
Зависимость координат точки , заданной в координатной области в декартовой и поляной системах координат выражается соотношениями 
и 
. Если точка задана в пространственно-частотной области, то связь координат этой точки в декартовой и поляной системах координат определяются как 
и 
. Тогда справедливы следующие соотношения
|
|
|
,
.
Следовательно, в полярной системе координат фурье–образ функции пропускания нулевого элемента транспаранта равен
, (2.4.15)
а фурье–образ функции пропускания k-го элемента имеет вид
. (2.4.16)
Проведя замену переменной 
, 
и учитывая, что функция 
является периодической по аргументу 
с периодом, равным 
, выражение (2.4.16) представим в виде
. (2.4.17)
Из формул (2.4.15) и (2.4.17) следует, что
. (2.4.18)
Таким образом, ППФ k-го элемента транспаранта МАИ получается путём поворота ППФ нулевого элемента в частотной области на угол 
, аналогичного повороту функции пропускания k-го элемента в пространственной области. Вычислив преобразование Фурье от выражения (2.4.13) с учетом (2.4.18), получим формулу для ППФ транспаранта МАИ в полярной системе координат
. (2.4.19)
Поток излучения и его частотно-временной спектр на выходе подвижного МАИ
П оток излучения на выходе подвижного МАИ. Для заданных значений смещения и поворота МАИ спектральный поток излучения определяется выражением (2.4.3). Если МАИ перемещается в соответствии с параметрическими уравнениями 
, 
и 
, т.е. совершает поступательное и вращательное движение, то квазимонохроматический поток излучения будет описываться функцией, зависящей от времени
|
|
|
(2.4.20)
В выражении (2.4.20) отражён тот факт, что общем случае облучённость в изображении объекта также может изменяться во времени. Однако в подавляющем большинстве случаев время анализа изображения достаточно мало, поэтому изменением облучённости в течение времени анализа можно пренебречь. Поэтому в дальнейшем будем считать, что распределение облучённости в изображении объекта не зависит от времени, т.е. 
.
Рассмотрим варианты, когда транспарант МАИ осуществляет поступательное или вращательное движение.
Поступательное движение транспаранта МАИ. Если транспарант МАИ поступательно перемещается относительно изображения, то система параметрических уравнений имеет вид
. (2.4.21)
Тогда выражение (2.4.20) можно записать как
. (2.4.22)
Частными случаями поступательного движения МАИ являются, так называемые, линейное сканирование и круговое сканирование.
При линейном сканировании (см. рис. 2.4.8) система параметрических уравнений имеет вид
|
|
|
, (2.4.23)
а квазимонохроматический поток на выходе МАИ описывается выражением
. (2.4.24)
где 
скорость линейного перемещения МАИ в направлении оси 
.
 |
Рис. 2.4.8. Иллюстрация линейного сканирования МАИ
При круговом сканировании осуществляется круговое поступательное перемещение изображения относительно неподвижного транспаранта МАИ или перемещение транспаранта МАИ относительно неподвижного изображения. Варианты реализации кругового поступательного движения изображения относительно неподвижного транспаранта МАИ представлены на рис. 2.4.9 и рис. 2.4.10.
Рис. 2.4.9. Реализация кругового сканирования изображения за счёт вращающего оптического клина
 |
Рис. 2.4.10. Реализация кругового сканирования изображения за счёт вращающего зеркала
При круговом сканировании перемещается начало координат, связанное с изображением, которое формирует ОС (см. рис. 2.4.11), или системы координат, связанной с транспарантом МАИ (см. рис. 2.4.12).
Рис. 2.4.11. Иллюстрация кругового сканирования изображения относительно неподвижного транспаранта МАИ
|
|
|
Рис. 2.4.12. Иллюстрация кругового сканирования транспаранта МАИ относительно неподвижного изображения
В том и другом случае закон относительного движения при круговом сканировании описывается системой следующих параметрических уравнений
(2.4.25)
где 
радиус кругового сканирования, 
период кругового сканирования.
Как будет показано ниже, здесь важен закон относительного перемещения, а не конкретная техническая реализация этого закона.
При круговом сканировании изображения относительно неподвижного транспаранта МАИ квазимонохроматический поток на выходе МАИ определяется выражением
. (2.4.26)
Если сделать замену переменных 
, то получим 
, 
, и выражение (2.4.26) преобразуется к виду
. (2.4.27)
Изменение знака в выражении (2.4.27) по сравнению с (2.4.22) означает, что относительное круговое перемещение осуществляется в обратном направлении.
Вращательное движение. При вращательном движении МАИ закон перемещения имеет вид
.
Тогда квазимонохроматический поток описывается выражением
, (2.4.28)
В полярной системе координат, где аргументами являются 
, выражение (2.4.28) имеет вид
(2.4.29)
Следует отметить, что при круговом и вращательном сканировании сигналы на выходе МАИ являются периодическими и могут быть представлены рядом Фурье, а именно,
, (2.4.30)
где 
k-тая гармоника квазимонохроматического потока излучения, определяемая выражением
.
Частотно-временной спектр квазимонохроматического потока излучения на выходе МАИ при круговом и вращательном движении определяется выражением
. (2.4.31)
Для рассмотренных частных случаев частотно-временной спектр определяется достаточно просто. Для более сложных законов движения транспаранта МАИ для вычисления зависимости потока излучения от времени и его частотно-временного спектра удобно использовать частотный метод.
Дата добавления: 2021-01-20; просмотров: 75; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!