Четырехугольники. Описанная и вписанная окружности.

Курс Геометрии 7-9 классы.

Геометрия - 7 класс Глава1. Точки, прямые, отрезок, луч, угол (смежные, вертикальные). Глава2. Треугольники: - Сумма углов треугольника, свойства . - Высота, медиана, биссектриса. - Равенство треугольников (I,II,III признаки равенства). - Равнобедренный треугольник, его свойства и признаки . Теоремы. - Прямоугольный треугольник, его свойства. Глава3. Параллельные прямые. - Параллельные прямые, свойства и признаки параллельности. Глава 4. Окружность и круг. - Окружность, круг, касательная к окружности. Их свойства. - Описанная и вписанная окружности треугольника.

Геометрия - 9 класс

Глава1. Тригонометрия. Решение треугольников.

- Sin, cos, tg, ctg угла от 0 до 180.

- Теорема косинусов, синусов. Сопутствующие формулы.

- Разные формулы площади труегольника.

- Решение треугольников.

- Вписанная окружность треугольника.

Глава2. Правильные многоугольники.

- Правильные многоугольники, их свойства.

- Длина окружности, площадь круга.

Глава3. Декартовы координаты на плоскости.

- Расстояние между двумя точками, середина отрезка.

- Уравнение фигуры, окружности, прямой.

- Угловой коэффициент прямой.

Глава4. Векторы.

- Координаты вектор

- Сложение, вычитание векторов.

- Умножение вектора на число.

- Скалярное произведение векторов.

Глава5. Геометрические преобразования.

- Движение, параллельный перенос фигуры.

- Осевая и центральная симметрия. Поворот.

- Подобие фигур.

Геометрия - 8 класс Глава1. Четырехугольники, их св-ва и признаки. - Параллелограмм. - Прямоугольник. - Ромб. - Квадрат. - Средняя линия треугольника. - Трапеция. - Центральные и вписанные углы окружности. - Описанная и вписанная окружности четырехугольника. Глава2. Подобие треугольников. - Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках. - Подобные треугольники. I, II, III признаки подобия треугольников. Глава3. Решение прямоугольных треугольников. - Метрические соотношения в прямоугольных треугольниках. - Теорема Пифагора. - Тригонометрические функции острого угла. - Решение прямоугольных треугольников. Глава4. Многоугольники. - Площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции. - Теорема Чевы.

Точки, прямые, углы.

Через любые две точки можно провести только одну прямую.
Две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.
Острый угол <90 Тупой угол >90 Прямой угол = 90 Развернутый угол = 180
Развернутый угол — угол образованный двумя дополнительными лучами (лучи, имеющие общее начало и лежащие на одной прямой) = 180⁰. Сумма смежных углов = 180⁰.
Вертикальные углы равны.
Перпендикулярные прямые образуют прямой угол 90⁰
- Через каждую точку, принадлежащей прямой проходит только одна прямая, перпендикулярная данной. - Через точку, не принадлежащую данной прямой проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.

Параллельные прямые.

Параллельные прямые не пересекаются.
-Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. -Расстояния от всех точек одной прямой до другой, параллельной данной, равны.
Признаки параллельности двух прямых: - две прямые, перпендикулярные третьей прямой — параллельны. - если накрестлежащие углы равны, то прямые параллельны. - если суммаодносторонних углов = 180⁰, то прямые параллельны. - если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Свойства параллельных прямых такие же, как признаки (накрестлежащие углы равны, односторонние 180⁰, соответсnвенные равны)

Треугольники

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против меньшего угла — меньшая сторона.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

Сумма углов треугольника = 180⁰.

Высота треугольника перпендикулярна стороне, на которую она опущена. Все высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Медиана треугольника делит пополам сторону, на которую она опущена. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса треугольника делит пополам угол, из которого выходит. Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (является центром вписанной окружности).

Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон. Свойства средней линии треугольника: - ср.линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Равнобедренный треугольник (свойства) : - боковые стороны равны. - углы при основании равны. - биссектриса = медиана= высота, проведенная из вершины к основанию.

Признаки равнобедренного треугольника такие же , как свойства (боковые стороны равны, углы при основании равны, медиана=высота=биссектриса).

Равносторонний треугольник : - все стороны равны. - все углы равны 60⁰.

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников I признак (2стороны и угол между ними): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. II признак (сторона и 2 прилежащих угла): Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. III признак (три стороны): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и против равных углов лежат равные стороны

Подобие треугольников.

Теорема Фалеса: Если параллельные прямые пересекают стороны угла и отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне угла.
Теорема о пропорциональных отрезках: Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла пропорциональны соответствующим отрезкам на другой стороне угла.
Свойство медиан треугольника: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся на отрезки в отношении 2:1, считая от вершины.
Свойство биссектрисы треугольника: Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.
Подобные треугольники — это треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны соответственно пропорциональны.
Прямая, параллельная одной стороне и пересекающая две его другие стороны, отсекает от данного треугольника подобный ему треугольник.
Признаки подобия треугольников: - по двум углам: если два угла одного треуг-ка равны двум углам другого треуг-ка, то эти треуг-ки подобны. - по двум сторонам и углу между ними: если две стороны одного треуг-ка пропорциональны двум сторонам другого треуг-ка, а углы, образованные этими сторонами соответственно равны, то треуг-ки подобны. - по трем сторонам: если три стороны одного треуг-ка пропорциональные трем сторонам другого треуг-ка, то треуг-ки подобны.
Средняя линия треугольника всегда отсекает подобный треугольник от исходного

Прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник (свойства): - угол 90⁰ - сумма острых углов 90⁰ - гипотенуза больше катетов. - катет, лежащий против угла 30⁰ равен половине гипотенузы. - если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30⁰.
Признаки равенства прямоугольных треугольников: - по гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прям-го треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прям-го треугольника, то такие треугольники равны. - по двум катетам: если два катета одного прям-го треугольника соответственно равны двум катетам другого прям-го треугольника, то такие треугольники равны. - по катету и острому углу (прилежащему или противолежащему): если катет и острый угол одного прям-го треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. - по гипотенузе и острому углу: если гипотенуза и острый угол одного прям-го треугольника соответственно равен гипотенузе и острому углу другого прям-го треугольника, то такие треугольники равны.
Метрические соотношения в прям-м треуг-ке: Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной из прямого угла, равен произведению отрезков, на которую она делит гипотенузу.
Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
Теорема Пифагора: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Окружность и круг.

Окружность: - все радиусы равны - диаметр в два раза больше радиуса
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде.
Свойства окружности: - Касательная и окружность имеют только одну общую точку. - Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.
Признаки касательной: - если прямая в точке касания перпендикулярна радиусу, то эта прямая - касательная. - если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то эта прямая -касательная.
Отрезки касательных от точки их пересечения до точек касания окружности равны.
Описанная (около треугольника) окружность: - проходит через все вершины треугольника - около любого треуг-ка можно описать окружность
Центр описанной окружности - это точка пересечения серединных перпендикуляров всех его сторон.
Вписанная (в треугольник) окружность: - касается всех его сторон. - радиус перпендикулярен стороне в точке касания. - в любой треугольник можно вписать окружность.
Центр вписанной окружности — это точка пересечения всех его биссектрис.
Центральный угол окружности — угол с вершиной в центре окружности. Вписанный угол окружности — угол с вершиной на окружности и сторонами, которые пересекают окружность.
Центральный угол окружности равен дуге на которую он опирается (в градусной мере).
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой.
Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу — равны.
Лемма о пересекающихся хордах (вытекает из определения синуса): Хорда окружности равна произведению диаметра и синуса любого вписанного угла, опирающегося на эту хорду.
Число Пи - математическая константа, равная отношению длины окружности к её диаметру.
Длина окружности
Площадь круга
Длина дуги окружности в n градусов (если дуга дана в градусах)
Площадь сектора, содержащего дугу окружности в n градусов
Площадь сегмента : Меньший сегмент = площадь меньшего сектора АОВ - площадь треугольника АОВ Больший сегмент = площадь большего сектора АОВ + площадь треугольника АОВ

Четырехугольники. Описанная и вписанная окружности.

Сумма углов четырехугольника = 360⁰
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
Свойства параллелограмма: - противолежащие стороны равны. - противолежащие углы равны. - диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Признаки параллелограмма: - если каждые две противолежащие стороны четырехугольника равны, то это параллелограмм. - если две противолежащие стороны четырехугольника равны и параллельны, то это параллелограмм. - если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма).
Свойство прямоугольника (плюс к свойствам парал-ма): - диагонали прямоугольника равны
Признаки прямоугольника: - если один из углов параллелограмма прямой, то это прямоугольник. - если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник.
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойство ромба (плюс к свойствам параллелограмма): - диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами углов.
Признаки ромба: - если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это ромб. - если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то это ромб.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны ( квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба)
Трапеция — это четырехугольник, которого две стороны параллельны.
Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон.
Свойства ср.линии трапеции: - ср.линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы
Описанная вокруг четырехугольника окружность проходит через все его вершины. Вписанная окружность четырехугольника касается всех его сторон.
Радиус вписанной окружности перпендикулярен стороне четырехугольника в точке касания.
Сумма противолежащих углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180⁰.
Суммы противолежащих сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны.

Тригонометрия

Синус острого угла прямоугольного треуг-ка = отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус острого угла прямоугольного треуг-ка = отношнию прилежащего угла к гипотенузе.
Тангенс острого угла прямоугольного треуг-ка = отношению противолежащего угла к прилежащему.
Котангенс острого угла прямоугольного треуг-ка = отношению прилежащего угла к противолежащему.
Основное тригонометрическое тождество - сумма квадратов синуса и косинуса угла равна 1.
Sin, cos, tg, ctg - второго острого угла Правило болванчика (для формул приведения типа sin(90+/-a) и тп) 1) Каков знак функции сейчас (смотрим исходный угол и определяем исходное значение функции в нем)? 2) Функция меняется? (смотрим на взятую ось 90/270 или 180/360): - вертикальная ось (болванчик кивает) - да, меняется. - горизонтальная ось (болванчик отрицает) - нет, не меняется.
Тангенс = отношение синуса к косинусу угла
Котангенс = отношение косинуса к синусу
Единичная окружность, ось sin, ось cos Область значения sin и cos [-1;1]
Знаки sin, cos, tg, ctg
Если c²= a² +b²,то треугольник прямоугольный Если c²> a² +b²,то треугольник тупоугольный Если c²< a² +b²,то треугольник остроугольный
Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними
Теорема синусов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. - отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла = два радиуса описанной окружности.

Площади многоугольников

Площади фигур: Параллелограмм - произведение стороны и высоты, проведенной к ней. - половина произведения диагоналей на синус угла между ними
Прямоугольник - произведение длин его сторон.
Ромб - половина произведения диагоналей.
!!Ромб и прямоугольник так же являются частными случаями параллелограмма, поэтому их площади можно находить по формуле параллелограмма.
Трапеция - произведение полусуммы оснований и высоты. - произведение средней линии и высоты.

Площадь треугольника: - половина произведения основания на высоту Прямоугольный треугольник - половина произведения катетов( тк катеты перпендикулярны, они и являются высотой и основанием) -половина произведения двух сторон и синуса угла между ними. -по формуле Герона, где p - полупериметр - по радиусу R описанной окружности - по радиусу r вписанной окружности, где p- полупериметр
Радиус вписанной в треугольник окружности r - отношение площади треугольника к его полупериметру.
Радиус описанной вокруг треугольника окружности: - отношение стороны к двум синусам противолежащего угла. - отношение произведения сторон к четырем площадям треугольника
Площадь многоугольника, описанного около окружности- произведение его полупериметра и радиуса вписанной окружности

Дата добавления: 2021-01-20; просмотров: 141; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!