Механическая форма уравнения энергии (уравнение Бернулли)

Запишем в дифференциальной форме уравнение энергии (2.5):

(2.37)

Согласно первому закону термодинамики тепло, подводимое к газу, может расходоваться только на повышение внутренней энергии и работу расширения (деформации), т.е.

(2.38)

Вычитая из уравнения (2.37) равенство (2.38), получим

(2.39)

Подставляя в (2.39) выражение удельного объема (V = 1/ρ), получаем

(2.40)

Это есть механическая форма уравнения энергии, или, что то же, уравнение живых сил для единичной струйки. После интегрирования будем иметь

(2.41)

Выведенное уравнение носит название обобщенного уравнения Бернулли. Оно выражает скорость движения в зависимости от давления и плотности газа с учетом производимой газом технической работы (L), изменения потенциальной энергии g ( z ₂ — z ₁ ) и работы сил трения ( L _тр ). В газовой динамике часто пользуются упрощенной формой уравнения Бернулли, соответствующей режиму, когда отсутствует техническая работа (L = 0), нет гидравлических потерь (L _тр= 0) и запас потенциальной энергии не изменяется (z₂ = z₁). Для этого режима уравнение Бернулли запишется в следующей форме:

(2.42)

Если нельзя пренебречь технической работой, гидравлическими потерями и изменением потенциальной энергии, то обобщенное уравнение Бернулли для 1 кг несжимаемой жидкости имеет такой вид:

(2.43)

Предположим теперь, что состояние газа изменяется по идеаль ной адиабате, т.е.

(2.44)

и рассмотрим случай идеального торможения газовой струи. Определим давление p₂=p*, которое получится, если скорость течения изоэнтропическим путем уменьшится от w ₁ = w (при этом p ₁ = p , ρ₁ = ρ) до w ₂ = 0. Уравнение Бернулли в этом случае дает

(2.45)

Откуда

Используя выражение (2.26), связывающее скорость звука с параметрами состояния газа, получим формулу для вычисления давления в идеально заторможенной газовой струе, в функции давления (р) и числа М перед торможением

(2.46)

Величина р* носит название полного давления. Как и температура торможения, полное давление является удобной характеристикой газового потока, так как оно связывает сразу два фактора: скорость и давление в потоке; последнее обычно называют статическим давлением. Итак, отношение полного давления к статическому есть функция числа М.

Учитывая (2.44) получаем формулу для вычисления плотности в идеально заторможенной газовой струе

(2.47)

С помощью функции (2.32), связывающей температуру торможения с приведенной скоростью, учитывая, что для идеальной адиабаты справедливо равенство

находим зависимость полного давления от приведенной скорости

(2.48)

Для плотности идеально заторможенного газа соответственно получим

(2.49)

Если на участке струи 1-2 наблюдаются потери, то это обязательно приводит к тому, что полное давление в сечении 2 будет ниже, чем в сечении 1. Количественная оценка потери полного давления выполняется с помощью безразмерной величины, носящей название коэф фициента сохранения полного давления

(2.50)

Очевидно, что чем больше потери, тем ниже значение коэффициента сохранения полного давления и меньше полное давление в конце рассматриваемого участка струи:

(2.51)

Дата добавления: 2020-12-12; просмотров: 61; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!