Знаки тригонометрических функций.
Знаки тригонометрических функций определяются тем, в какой из координатных четвертей плоскости лежит рассматриваемый угол.
Так как синус числа α является ординатой конца единичного вектора с началом в начале координат, то синус положителен в первой и второй четвертях и отрицателен в третьей и четвертой.
Косинусом числа α есть абсцисса конца вектора. Поэтому косинус положителен в первой и четвертой четвертях и отрицателен - во второй и третей.
Тангенс и котангенс есть отношение координат, поэтому они положительны, когда координаты имеют одинаковые знаки (первая и третья) и отрицательны, когда разные (вторая и четвертая).
К одним из основных свойств функций, в том числе и тригонометрических, относятся свойства четности и нечетности и свойство периодичности.
Четность и нечетность тригонометрических функций.
Определим значение cos30о и cos(-30о) с помощью единичной окружности.
Из рисунка 1 видно, что cos (-30о) = cos 30о, так как этим углам соответствуют точки единичной окружности, имеющие одинаковую координату x. Значит cos (- x )= cosx .
По определению функция f(x) называется четной, если для любого x из её области определения f (- x ) = f ( x ). Следовательно, функция косинус – четная.
Если рассмотреть значения синусов этих же углов, то можно заметить, что sin(-30о) =-sin 30о, потому что значение синуса находится на оси OY и данные точки имеют противоположные значения y. Значит sin (- x )= - sin x .
|
|
|
 |
Рис. 1
По определению, функция f (x) называется нечетной, если для любого x из ее области определения f (- x ) = - f ( x ). Следовательно, функция синус – нечетная.
Пример 3. Определите четность и нечетность функции y = sin x + x.
Для нахождения четности и нечетности применим следующую схему:
1) найдем значение f (- x ), подставив в заданную функцию вместо х значение –х;
f (-x) = sin (-x) + (-x)
2) раскроем скобки f (- x ) = sin (- x ) + (- x )=-sinx-x
3) сравним полученное выражение с данным и если выражения не совпали, то вынесем минус за
скобки;
f (-x) = sin (-x) + (-x)=-sinx-x=-(sinx+x)=-f(x).
4) делаем вывод, опираясь на определение четной и нечетной функций.
так как f (- x ) = - f ( x ) – данная функция нечетная.
Периодичность тригонометрических функций.
Очень многие процессы и явления, с которыми мы встречаемся в практике, имеют повторяющийся характер. Такого рода процессы называются периодическими, а функции их описывающие – периодическими функциями. Все основные тригонометрические функции – периодические. Найдем период каждой из них.
Число 2π является минимальным периодом синуса и косинуса. Следовательно, sin (t +2 π) = sin t, аналогично, и для cos (t +2 π) =cos t.
|
|
|
Тангенс и котангенс также являются периодическими функциями, но наименьшим периодом для тангенса и котангенса является π.
Пример 4. Используя свойство периодичности, приведите углы к наименьшему:
а) sin 725о; б) cos 
.
Решение:
а) т.к. поворот на 3600 не изменяет значение функции, поэтому выделим в данном углу два
полных оборота 725о = 360о * 2 + 5о, значит 
.
б) т.к. угол задан в радианах, необходимо, выделим целую часть в данной дроби. Для этого
числитель представим в виде суммы числа, которое делится на 5 и остатка
.
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 92; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!