Тригонометрические функции числового аргумента.

Радианное измерение углов. Единичная окружность.

Существует несколько единиц измерения углов. Наиболее распространенной является – градусная мера. Градусное измерение возникло в Древнем Вавилоне задолго до новой эры. Жрецы считали, что свой путь Солнце совершает за 180 «шагов», и, значит один «шаг» равен 1/180 развернутого угла. Вавилонская система измерения углов оказалась достаточно удобной, и её сохранили математики Греции и Рима. Слово «градус» происходит от латинского, перевод которого означает – шаг, ступень. Менее известны другие системы измерения, которые очень редко встречаются в повседневной практике, а используются лишь для определенных отраслей, такие как

На практике уже более трех тысяч лет за единицу измерения величины угла принята часть полного оборота, которую называют градусом. В технике за единицу измерения углов принимают полный оборот. В мореплавании за единицу измерения углов принят румб, равный части полного оборота. В артиллерии за единицу измерения углов принята часть полного оборота, которую называют большим делением угломера (0,01 часть большого деления угломера называют малым делением угломера). Часовая система: основная единица - 1 час, равный 1/24 части полного оборота.

В связи с развитием техники появилась потребность измерять круговые движения (т. е. повороты на сколь угодно большие углы и различные колебательные процессы, связанные с круговым движением). Появилась потребность в новой, универсальной единице измерения дуг и углов. Такой единицей оказалась радианная (радиусная) мера угла, она появилась в трудах Ньютона и Лейбница и вошла в науку благодаря трудам академика Петербургской академии наук Леонарда Эйлера. В переводе с латинского оно обозначает – луч или спица.

Угол в 1 радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности (рис. 1).

ÐMON – угол в один радиан

Оо М 1 рад. » 57^о

Рис. 1

Радианная и градусная меры углов связаны между собой зависимостью 180^о = p рад., тогда дуга в 1° содержит радиан: , дуга в 1 радиан содержит градусов:

Чтобы найти радианную меру угла по заданной градусной мере нужно число градусов умножить на величину .

= - формула перевода градусов в радианы

Пример 1. Выразить в радианной мере углы 120⁰; 320⁰.

Решение: , .

Радианы можно также выражать в градусах. Для этого используется соотношение

1рад. = , тогда формула перевода радиана в градусы будет иметь вид:

Иначе говоря, чтобы перевести радианы в градусы необходимо угол в 1рад. умножить на количество радиан.

Пример 2. Выразите в градусах следующие углы: а) ; б) .

Решение: Воспользуемся формулой перевода радиан в градусы.

108^о, = 225^о.

Результат получается после сокращения дробей.

Заметим, что обозначение градуса в записи пропускать нельзя, а обозначение радиана пропускают. Если в записи угла отсутствует знак градуса, то угол выражен в радианах.

Введем понятие единичной окружности. Окружность с центром в начале координат, радиуса 1 называется единичной окружностью. В тригонометрии пользуются только единичными окружностями.

Вращение радиуса против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке отрицательным. Данные направления учитываются при откладывании углов от нулевого положения. Зафиксированная точка на единичной окружности обозначается , т. е. она соответствует углу поворота и имеет координаты (х; у).

Тригонометрические функции числового аргумента.

Основными тригонометрическими функциями являются синус, косинус, тангенс и котангенс. Они определяются с помощью координат вращающейся точки Р_о(1;0). Эту точку будем называть начальной точкой. Если повернуть начальную точку на угол a, то получим точку на единичной окружности Р_a (x;y). Найдем координаты этой точки, для этого опустим перпендикуляры на оси координат (рис. 1).

Р_a (x;y)

Р_о

Рассмотрим прямоугольный треугольник DОАР_a, где ОА=x, ОВ=y, ОР=R=1. Из геометрии известно, что синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе, значит sin = = = .

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют соотношение прилежащего катета к гипотенузе: cos = = = .

Таким образом, Р_a ( x; y ) = P_a ( cos a; sin a )

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему = =

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему = =

Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 155; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!