Примеры для самостоятельного решения

СЕМИНАР 12

Определённый интеграл

Пусть на отрезке [a ; b] задана непрерывная неотрицательная функция y = f(x) (рисунок).

Определение 1. Сумма называется интегральной суммой функции f (x) на отрезке [a ; b].

Определение 2. Предел интегральных сумм функции f (x) на отрезке [a ; b] при n ® ¥ и max D x_k ® 0 называется определённым интегралом функции f(x) на отрезке [a ; b], если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [a ; b] на части, ни от выбора точек M_k (k = 1,…, n) на каждой из частей. Следовательно, можно записать:

При этом отрезок [a ; b] называют отрезком интегрирования, «a»–нижним пределом интегрирования,«b»–верхним пределом.

Достаточное условие интегрируемости функции на отрезке [a ; b].Если функция f(x) на отрезке [a ; b] непрерывна, то определённый интеграл существует, т.е. функция f (x) на отрезке [a ; b] интегрируема.

Свойства определённого интеграла

5) Если функция f(x) интегрируема на отрезках [a ; c] и [c ; b], то она интегрируема и на отрезке [a ; b], причём верно равенство:

при любом расположении точек a , b и c на оси Ox.

6) Если f (x) ³ 0 при x Î [a ; b], то

7) Если на отрезке [a ; b] f (x) ³ g (x), то

8) Теорема 1 (о среднем значении определённого интеграла).Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a ; b], то на этом отрезке найдётся хотя бы одна точка c, в которой выполняется равенство:

Формула Ньютона–Лейбница

Теорема 2. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a ; b] и F(x) – какая-либо её первообразная на отрезке [a ; b]. Тогда определённый интеграл от функции f(x) по отрезку [a ; b] равен разности значений функции F(x) в точках b и a:

Формула Ньютона–Лейбница является основной формулой интегрального исчисления, устанавливающей связь между определённым и неопределённым интегралами, и даёт правило вычисления определённого интеграла.

Замечание. Формулу Ньютона–Лейбница часто записывают в виде:

где используется обозначение:

Задача вычисления определённого интеграла сводится к нахождению первообразной непрерывной функции.

Методы интегрирования определённого интеграла

Замена переменной в определённом интеграле

Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a ; b] и пусть функция x = j(t) имеет непрерывную производную j'(t) на отрезке [a;b], область значений этой функции – отрезок [a ; b], т.е. a £ j (t) £ b для tÎ [a;b], причём j(a) = a, j(b) = b.