Дифференциальные уравнения второго порядка.
Общий вид уравнения второго порядка: .
Начальные условия принимают вид: и .
Общим решением является функция , содержащая две произвольных постоянных и . Частным решением называется функция , полученное из общего решения, удовлетворяющее начальным условиям.
Рассмотрим только некоторые уравнения второго порядка.
Уравнения вида . Решение этого уравнения находится 2-кратным интегрированием, а именно: ,
, . (2.11)
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Это уравнения вида:
, (2.12)
где и – некоторые действительные числа.
Общим решением является функция , где и – частные решения уравнения (2.12). Для их определения решаем характеристическое уравнение
. (2.13)
Пусть и – корни уравнения (2.13), тогда возможны следующие случаи:
1) если и – действительные числа, причем , тогда:
и ; (2.14)
2) если и – действительные числа, и , тогда:
и ; (2.15)
3) если и – комплексные числа, т.е. , тогда:
и . (2.16)
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения имеют вид:
, где – заданная функция. (2.17)
|
|
Структура общего решения уравнения (2.17) определяется следующим образом:
, (2.18)
где – общее решение однородного уравнения (2.12), которые определяются по формулам (2.14)–(2.16), а – частное решение уравнения (2.17).
Метод нахождения частного решения зависит от функции . Остановимся только на случае, когда – функция специального вида.
1) Пусть , где – действительное число, а – многочлен степени . Частное решение ищем в виде
, (2.19)
где – число, равное кратности как корня характеристического уравнения (2.13), а – многочлен степени с неопределенными коэффициентами .
Для определения этих коэффициентов, подставим в уравнение (2.17), сократим на . Получим слева многочлен степени с неопределенными коэффициентами , справа – многочлен степени , но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов .
2) Пусть , где , , и – действительные числа. Тогда частное решение ищем в виде
, (2.20)
|
|
где – число, равное кратности как корня характеристического уравнения (2.13), а и – неопределенные коэффициенты.
После подстановки в уравнение (2.17) и сократив на , приравниваем коэффициенты, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой части уравнения.
Замечание: форма (2.20) частного решения сохраняется и в случаях, когда или .
Индивидуальные задания для контрольной работы.
Задача № 1. Вычислить неопределенный интеграл
1.1. .
1.2. .
1.3. .
1.4. .
1.5. .
1.6. .
1.7. .
1.8. .
1.9. .
1.10. .
1.11. .
1.12. .
1.13. .
1.14. .
1.15. .
1.16. .
1.17. .
1.18. .
1.19. .
1.20. .
1.21. .
1.22. .
1.23. .
1.24. .
1.25. .
1.26. .
1.27. .
1.28. .
1.29. .
1.30. .
Задача № 2. Вычислить неопределенный интеграл
2.1. .
2.2. .
2.3. .
2.4. .
2.5. .
2.6. .
2.7. .
2.8. .
2.9. .
2.10. .
2.11. .
2.12. .
2.13. .
2.14. .
2.15. .
2.16. .
2.17. .
2.18. .
2.19. .
2.20. .
2.21. .
2.22. .
2.23. .
2.24. .
2.25. .
2.26. .
2.27. .
2.28. .
2.29. .
2.30. .
Задача № 3. Вычислить неопределенный интеграл
3.1. .
3.2. .
3.3. .
3.4. .
3.5. .
3.6. .
3.7. .
3.8. .
3.9. .
3.10. .
3.11. .
3.12. .
3.13. .
3.14. .
3.15. .
3.16. .
3.17. .
3.18. .
|
|
3.19. .
3.20. .
3.21. .
3.22. .
3.23. .
3.24. .
3.25. .
3.26. .
3.27. .
3.28. .
3.29. .
3.30. .
Задача № 4. Вычислить неопределенный интеграл
4.1. .
4.2. .
4.3. .
4.4. .
4.5. .
4.6. .
4.7. .
4.8. .
4.9. .
4.10. .
4.11. .
4.12. .
4.13. .
4.14. .
4.15. .
4.16. .
4.17. .
4.18. .
4.19. .
4.20. .
4.21. .
4.22. .
4.23. .
4.24. .
4.25. .
4.26. .
4.27. .
4.28. .
4.29. .
4.30. .
Задача № 5. Вычислить неопределенный интеграл
5.1. .
5.2. .
5.3. .
5.4. .
5.5. .
5.6. .
5.7. .
5.8. .
5.9. .
5.10. .
5.11. .
5.12. .
5.13. .
5.14. .
5.15. .
5.16. .
5.17. .
5.18. .
5.19. .
5.20. .
5.21. .
5.22. .
5.23. .
5.24. .
5.25. .
5.26. .
5.27. .
5.28. .
5.29. .
5.30. .
Задача № 6. Вычислить неопределенный интеграл
6.1. .
6.2. .
6.3. .
6.4. .
6.5. .
6.6. .
6.7. .
6.8. .
6.9. .
6.10. .
6.11. .
6.12. .
6.13. .
6.14. .
6.15. .
6.16. .
6.17. .
6.18. .
6.19. .
6.20. .
6.21. .
6.22. .
6.23. .
6.24. .
6.25. .
6.26. .
6.27. .
6.28. .
6.29. .
6.30. .
Задача № 7. Вычислить определенный интеграл
7.1. .
7.2. .
7.3. .
7.4. .
7.5. .
7.6. .
7.7. .
7.8. .
7.9. .
7.10. .
7.11. .
7.12. .
7.13. .
7.14. .
7.15. .
7.16. .
7.17. .
7.18. .
7.19. .
7.20. .
7.21. .
7.22. .
7.23. .
7.24. .
7.25. .
7.26. .
7.27. .
7.28. .
7.29. .
7.30. .
Задача № 8. Вычислить определенный интеграл
|
|
8.1. .
8.2. .
8.3. .
8.4. .
8.5. .
8.6. .
8.7. .
8.8. .
8.9. .
8.10. .
8.11. .
8.12. .
8.13. .
8.14. .
8.15. .
8.16. .
8.17. .
8.18. .
8.19. .
8.20. .
8.21. .
8.22. .
8.23. .
8.24. .
8.25. .
8.26. .
8.27. .
8.28. .
8.29. .
8.30. .
Задача № 9. Вычислить несобственный интеграл
9.1. .
9.2. .
9.3. .
9.4. .
9.5. .
9.6. .
9.7. .
9.8. .
9.9. .
9.10. .
9.11. .
9.12. .
9.13. .
9.14. .
9.15. .
9.16. .
9.17. .
9.18. .
9.19. .
9.20. .
9.21. .
9.22. .
9.23. .
9.24. .
9.25. .
9.26. .
9.27. .
9.28. .
9.29. .
9.30. .
Задача № 10. Вычислить (с точностью до 0,01) площадь фигуры, ограниченной линиями
10.1. .
10.2. .
10.3. .
10.4. .
10.5. .
10.6. .
10.7. .
10.8. .
10.9. .
10.10. .
10.11. .
10.12. .
10.13. .
10.14. .
10.15. .
10.16. .
10.17. .
10.18. .
10.19. .
10.20. .
10.21. .
10.22. .
10.23. .
10.24. .
10.25. .
10.26. .
10.27. .
10.28. .
10.29. .
10.30. .
Задача № 11. Найти общее решение дифференциального уравнения
11.1. а) ; б) .
11.2. а) ; б) .
11.3. а) ; б) .
11.4. а) ; б) .
11.5. а) ; б) .
11.6. а) ; б) .
11.7. а) ; б) .
11.8. а) ; б) .
11.9. а) ; б) .
11.10. а) ; б) .
11.11. а) ; б) .
11.12. а) ; б) .
11.13. а) ; б) .
11.14. а) ; б) .
11.15. а) ; б) .
11.16. а) ; б) .
11.17. а) ; б) .
11.18. а) ; б) .
11.19. а) ; б) .
11.20. а) ; б) .
11.21. а) ; б) .
11.22. а) ; б) .
11.23. а) ; б) .
11.24. а) ; б) .
11.25. а) ; б) .
11.26. а) ; б) .
11.27. а) ; б) .
11.28. а) ; б) .
11.29. а) ; б) .
11.30. а) ; б) .
Задача № 12. Найти решение задачи Коши
12.1. .
12.2. .
12.3. .
12.4. .
12.5. .
12.6. .
12.7. .
12.8. .
12.9. .
12.10. .
12.11. .
12.12. .
12.13. .
12.14. .
12.15. .
12.16. .
12.17. .
12.18. .
12.19. .
12.20. .
12.21. .
12.22. .
12.23. .
12.24. .
12.25. .
12.26. .
12.27. .
12.28. .
12.29. .
12.30. .
Задача № 13. Найти решение задачи Коши
13.1. .
13.2. .
13.3. .
13.4. .
13.5. .
13.6. .
13.7. .
13.8. .
13.9. .
13.10. .
13.11. .
13.12. .
13.13. .
13.14. .
13.15. .
13.16. .
13.17. .
13.18. .
13.19. .
13.20. .
13.21. .
13.22. .
13.23. .
13.24. .
13.25. .
13.26. .
13.27. .
13.28. .
13.29. .
13.30. .
Задача № 14. Найти общее решение дифференциального уравнения
14.1. а) ;
б) ;
в) .
14.2. а) ;
б) ;
в) .
14.3. а) ;
б) ;
в) .
14.4. а) ;
б) ;
в) .
14.5. а) ;
б) ;
в) .
14.6. а) ;
б) ;
в) .
14.7. а) ;
б) ;
в) .
14.8. а) ;
б) ;
в) .
14.9. а) ;
б) ;
в) .
14.10. а) ;
б) ;
в) .
14.11. а) ;
б) ;
в) .
14.12. а) ;
б) ;
в) .
14.13. а) ;
б) ;
в) .
14.14. а) ;
б) ;
в) .
14.15. а) ;
б) ;
в) .
14.16. а) ;
б) ;
в) .
14.17. а) ;
б) ;
в) .
14.18. а) ;
б) ;
в) .
14.19. а) ;
б) ;
в) .
14.20. а) ;
б) ;
в) .
14.21. а) ;
б) ;
в) .
14.22. а) ;
б) ;
в) .
14.23. а) ;
б) ;
в) .
14.24. а) ;
б) ;
в) .
14.25. а) ;
б) ;
в) .
14.26. а) ;
б) ;
в) .
14.27. а) ;
б) ;
в) .
14.28. а) ;
б) ;
в) .
14.29. а) ;
б) ;
в) .
14.30. а) ;
б) ;
в) .
Задача № 15. Найти общее решение дифференциального уравнения
15.1. , если
а) , б) .
15.2. , если
а) , б) .
15.3. , если
а) , б) .
15.4. , если
а) , б) .
15.5. , если
а) , б) .
15.6. , если
а) , б) .
15.7. , если
а) , б) .
15.8. , если
а) , б) .
15.9. , если
а) , б) .
15.10. , если
а) , б) .
15.11. , если
а) , б) .
15.12. , если
а) , б) .
15.13. , если
а) , б) .
15.14. , если
а) , б) .
15.15. , если
а) , б) .
15.16. , если
а) , б) .
15.17. , если
а) , б) .
15.18. , если
а) , б) .
15.19. , если
а) , б) .
15.20. , если
а) , б) .
15.21. , если
а) , б) .
15.22. , если
а) , б) .
15.23. , если
а) , б) .
15.24. , если
а) , б) .
15.25. , если
а) , б) .
15.26. , если
а) , б) .
15.27. , если
а) , б) .
15.28. , если
а) , б) .
15.29. , если
а) , б) .
15.30. , если
а) , б) .
4. Решение типового варианта.
Задача № 1. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение. Представим подынтегральную функцию в виде суммы, разделив почленно числитель на , а затем применим свойства и таблицу интегралов.
.
Задача № 2. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение. Приведем данный интеграл к табличному виду, воспользуемся свойством 6 и таблицей интегралов.
.
Задача № 3. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение. Учитывая, что , то удобно выполнить замену переменной по формуле (1.1). Пусть , тогда и . Получим
Задача № 4. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение. Представим данный интеграл в виде разности двух интегралов.
.
В первом интеграле выполним замену переменной: , тогда и . Второй интеграл легко сводится к табличному. Получим:
Задача № 5. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение. Подынтегральная функция представляет собой неправильную рациональную дробь. Выделим целую часть дроби:
.
Получим
.
Задача № 6. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение. Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям (1.2). Положим: , а , тогда и .
Получим
.
Задача № 7. Вычислить определенный интеграл
.
Решение. По формуле (1.5) выполним замену переменной в определенном интеграле. Пусть , тогда и . Заменим пределы интегрирования: , .
Применяя формулу Ньютона–Лейбница, получим
.
Задача № 8. Вычислить определенный интеграл
.
Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям для определенного интеграла (1.4).
.
Задача № 9. Вычислить несобственный интеграл
.
Решение. Выполним сначала замену переменной. Пусть , тогда . Изменим пределы интегрирования: , . Затем применим формулу (1.8). Получим
.
Задача № 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
Решение. Определим пределы интегрирования. Для этого найдём точки пересечения графиков функций : .
Фигура ограничена сверху графиком функции , снизу – графиком функции . Поэтому, согласно формуле (1.7) получим
.
Ответ: (кв.ед.)
Задача № 11. Найти общее решение дифференциального уравнения
а) .
Решение. Учитывая, что , сведем данное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными:
.
Интегрируем полученное уравнение:
.
Общее решение в итоге имеет вид: .
б) .
Решение. Преобразуем это уравнение к виду (2.1). Получим уравнение с разделяющимися переменными
,
,
.
Разделим получившееся уравнение на . Получим:
.
Проинтегрируем:
,
где .
Применяя свойства логарифма, получим общее решение: .
Задача № 12. Найти решение задачи Коши
.
Решение. Данное уравнение является линейным. Преобразуем его к виду (2.5), разделив на . Получим
.
Решим это уравнение методом Бернулли. Выполним замену: , , где и – неизвестные функции, одна из которых произвольная. Пусть – произвольная функция, тогда после подстановки и получим:
или . (*)
Одно из возможных значений найдем из уравнения
или .
Разделяем переменные и интегрируем:
.
Подставим найденную функцию в уравнение (*) и найдем функцию .
.
Интегрируя, получим
.
Искомое общее решение принимает вид
или .
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию
.
Тогда решение задачи Коши имеет вид: .
Задача № 13. Найти решение задачи Коши
.
Решение. Это уравнение второго порядка. Его решение будем искать путем 2-кратного интегрирования:
.
Найдем значение произвольной постоянной из условия :
.
Тогда получим: .
Интегрируя эту функцию, найдем общее решение исходного уравнения
.
Определим значение . Т.к. , то получим:
.
Решение задачи Коши, т.е. решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид:
.
Задача № 14. Найти общее решение дифференциального уравнения
а) ; б) ; в) .
Решение. Данные уравнения являются линейными однородными уравнениями с постоянными коэффициентами. Общее решение имеет вид: , где и – частные решения этих уравнений и их вид зависит от решения характеристических уравнений.
а) .
Составим и решим характеристическое уравнение:
.
Т.к. корни уравнения действительные не совпадающие числа, то согласно (2.14) получим:
.
Общее решение имеет вид: .
б) .
Решаем характеристическое уравнение:
.
Получили совпадающие действительные корни и по формуле (2.15) имеем:
.
Получим общее решение: или .
в) .
Решаем характеристическое уравнение:
.
Получили комплексно сопряженные корни и согласно (2.16) имеем:
.
Общее решение имеет вид:
или .
Задача № 15. Найти общее решение дифференциального уравнения
, если а) , б) .
Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами. Структура общего решения, согласно (2.18) имеет вид: . Общее решение однородного уравнения, а именно , в обоих случаях одно и то же. Найдем его, решая однородное уравнение .
Решим характеристическое уравнение:
.
Тогда .
Найдем теперь .
а) Так как и не является корнем характеристического уравнения, т.е. кратность его , и – многочлен первой степени, то по формуле (2.19) получим:
или .
Для определения и найдем и :
,
.
Подставим , и в исходное уравнение
.
Сократим на и приведем подобные слагаемые
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части и решим получившуюся систему
Тогда или .
Общее решения принимает вид: .
б) Функцию легко свести к специальному виду, а именно к виду . Т.к. не является корнем характеристического уравнения, т.е. кратность его , то по формуле (2.20) получим
или .
Найдем и , и подставим , и в исходное уравнение
; .
Тогда ,
или
.
Приравниваем коэффициенты при одноименных тригонометрических функциях левой и правой частях. Решим получившуюся систему
Тогда .
Запишем общее решение: .
5. Литература.
а) Список использованной литературы
1. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 2. Под ред. Рябушко А.П.– Минск: Вышэйшая школа, 1990.
2. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. ТР. М.: Высшая школа, 1983 г., 2005 г.
3. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1; 2. М.: Высшая школа, 1980 г.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.
Т. 1; 2. М.: Наука, 1978 г.
б) Список рекомендуемой литературы
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.
Т. 1; 2. М.: Наука, 1978 г.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1980 г.
3. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1; 2. М.: Высшая школа, 1980 г.
4. Письменый Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс/Д.Т. Письменный. – 4-е изд. – М: Айрис-пресс, 2006. 608 с.
5. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. ( Серия "решебник") 2-е изд., испр. – М.: Физико-математическая литература, 2001. – 368 с. (Решебник.) URL: http://www.alleng.ru/d/math/math164.htm
6. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. 4-е изд., М.: Высшая школа, 1966. - 464с. URL: http://www.alleng.ru/d/math/math24.htm
7. Смолянский М.Л. Таблицы неопределенных интегралов. 2-е изд., испр. - М.: Гос. изд. физ-мат. лит., 1963. - 112с. URL: http://www.alleng.ru/d/math/math208.htm
Оглавление
1. Интегральное исчисление функции одного действительного
аргумента …………………………………………………………......3
2. Дифференциальные уравнения…………………………………..….9
3. Индивидуальные задания для контрольной работы………………14
4. Решение типового варианта……………………………………..….35
5. Литература………………………………………………………...…46
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 60; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!