Дифференциальные уравнения первого порядка.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования

«Ковровская государственная технологическая академия имени

В.А. Дегтярева»

Интегралы. Дифференциальные уравнения.

Контрольная работа по математике для заочного отделения.

Миронова Е.А.

Юлина Н.А.

г. Ковров 2013 г.

Методические указания предназначены в качестве пособия для студентов заочного отделения технических специальностей. Содержат в себе сжатый теоретический материал и индивидуальные задания к контрольной работе по математике, а так же решение типового варианта.

Введение

Настоящее учебно-методическое пособие содержит краткие теоретические сведения из разделов «Интегрирование функции одного аргумента» и «Обыкновенные дифференциальные уравнения», включая технические приложения. Пособие содержит условия контрольной работы по этим темам, которая состоит из 15 заданий и представлена 30 вариантами, а также пример выполнения типового варианта. Задания для контрольной работы студентов включают основные задачи из интегрального исчисления и теории решения дифференциальных уравнений. В конце пособия приведён список использованной и рекомендуемой для самостоятельной подготовки литературы.

Содержание пособия подчинено требованиям современного государственного образовательного стандарта по математике для студентов технических специальностей. Краткие теоретические сведения, изложенные в пособии, даны в объёме, достаточном для самостоятельного решения заданий.

Задания для контрольной работы подобраны исходя из опыта работы преподавателей кафедры «Высшая математика» КГТА и с учётом уровня подготовки студентов заочного отделения, что выгодно отличает данное пособие от ранее изданных аналогичных пособий.

Пособие может быть использовано для самостоятельного изучения указанных разделов студентами не только заочного отделения. Задания для контрольной работы могут быть использованы преподавателями в своей работе для организации аудиторной самостоятельной работы студентов других форм обучения.

Интегральное исчисление функции одного действительного аргумента.

Неопределённый интеграл.

Функция называется первообразной функции , если на и определена и непрерывна на . Если – первообразная для функции , то множество функций называется неопределённым интегралом от функции и обозначается символом

где – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение, а – переменная интегрирования.

Восстановление функции по её производной называется интегрированием.

Основные свойства неопределённого интеграла.

1. .

2. .

3. .

4. , .

5. .

6. Если и , то .

7. Если , то .

Основные интегралы от элементарных функций:

2. ,

4. ,

5. ,

6. ,

9. ,

10. ,

11.

12.

13.

14. ,

15.

16. ,

17. ,

18. ,

19.

20. ,

21.

Рассмотрим основные методы интегрирования.

Непосредственное интегрирование – это метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применение свойств неопределенного интеграла приводится к табличному интегралу.

Замена переменной. Если – непрерывно дифференцируемая функция и , то

. (1.1)

Внесение под знак дифференциала. Метод внесения под знак дифференциала является частным случаем метода замены переменных.

Метод основан на 7 свойстве формул интегрирования. Формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо переменной любой дифференцируемой функции от этой переменной.

При приведении данного интеграла к табличному виду используют следующие преобразования дифференциала:

1. , где ,

2. ,

3. ,

где и – const,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. ,

16. .

В общем виде формула метода внесения под знак дифференциала выглядит так:

Интегрирование по частям. Пусть и непрерывно дифференцируемые функции, тогда

. (1.2)

Для нахождения неопределённого интеграла можно воспользоваться системой MathCad. Для этого необходимо ввести оператор неопределённого интеграла с панели Calculus (вычисления) и в соответствующем местозаменителе напечатать имя переменной, по которой должно быть осуществлено интегрирование, а также ввести функцию, для которой требуется найти неопределённый интеграл. Следует обратить внимание на то, что MathCad выводит только основное значение первообразной функции, без постоянной величины.

Рис. 1 Пример вычисления неопределённого интеграла в системе MathCad

Определённый интеграл.

Пусть функция определена на отрезке . Разобьём этот отрезок на n произвольных частей точками .

Рис. 17

В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку и составим сумму:

где . Эта сумма называется интегральной суммой для функции на . Обозначим (т.е. длина наибольшего частичного отрезка).

Если существует конечный предел I интегральной суммы s при ( ), то этот предел называется определённым интегралом от функции по и обозначается

В этом случае называется интегрируемой на . Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования.

Основные свойства определённого интеграла.

1. .

2. .

3. .

4. , .

5. .

6. , где .

7. Если при , то .

8. Если при , то .

9. Если функция непрерывна на отрезке , то найдется такая точка , такая, что . Число называется средним значением функции на отрезке .

10. , при .

11. .

Основные методы интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница. Если функция определена и непрерывна на отрезке , а – какая-либо её первообразная, т.е. , то

. (1.3)

Формула интегрирования по частям. Если и – непрерывно интегрируемы на функции, то

. (1.4)

Замена переменной. Если функция непрерывна на отрезке , – непрерывно дифференцируемая функция на , где , и определена и непрерывна на , то

. (1.5)

Определённый интеграл применяют для вычисления площади криволинейной трапеции. Если криволинейная трапеция ограничена сверху графиком функции , слева и справа – прямыми и , снизу – осью Ох, то площадь вычисляется по формуле

. (1.6)

Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции , снизу – графиком функции , слева и справа – прямыми и , вычисляется по формуле

. (1.7)

Определенный интеграл с бесконечным пределом интегрирования называется несобственным интегралом. Пусть функция непрерывна на интервале , тогда несобственный интеграл имеет вид:

. (1.8)

К несобственным относятся так же и интегралы

и .

Систему MathCad можно использовать и для нахождения определённого интеграла. Для этого нужно ввести символ определённого интеграла с панели Calculus (вычисления) с несколькими местозаменителями, в которые нужно ввести нижний и верхний пределы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования. Чтобы получить результат интегрирования, следует ввести знак равенства для получения ответа в виде десятичной дроби (Рис.2 а) или символьного равенства для получения точного ответа (Рис.2 б).

Рис. 2 Пример вычисления определённого интеграла в системе MathCad

Дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение вида , где – независимая переменная, – искомая функция, – её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция, которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество.

Условие, что при функция называется начальным условием.

Функция, , содержащая одну произвольную постоянную называется общим решением. Функция , полученная из общего решения и удовлетворяющая начальному условию, называется частным решением.

Рассмотрим методы интегрирования некоторых уравнений первого порядка.

Уравнение с разделяющимися переменными – это уравнение вида:

, (2.1)

где , , и – известные функции, зависящие только от или .

Если ни одна из этих функций не равна тождественно нулю, то разделив уравнение (2.1) на , получим уравнение с разделенными переменными:

. (2.2)

Проинтегрировав это уравнение, получим общее решение исходного уравнения:

. (2.3)

Уравнение сводится к уравнению с разделенными переменными. Учитывая, что , получим уравнение вида:

. (2.4)

Линейное уравнение – это уравнение вида:

, (2.5)

где и – заданные функции.

Для решения его рассмотрим метод Бернулли. Выполним подстановку , где и – две неизвестные функции, причем одна из которых произвольная. Тогда уравнение (2.5) сводится у виду