П. 27. Комплексные числа и действия над ними.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Приходовский М.А.

Алгебра

(электронное учебное пособие по практике)

ИПМКН ТГУ, группы 932024, 932025

Осень - 2020

ПРАКТИКА 1.

Задача 1. Образует ли группоид следующее множество с данной бинарной операцией ? а) , б) .

а) Не образует, так как, например, .

б) Образует, положительная степень положительного числа это снова натуральное число.

Задача 2. Образует ли группоид следующее множество с данной операцией? , .

Не образует, так как, например, .

Задача 3. Какое из множеств: , , является группоидом с операцией ?

а) рассмотрим . Не для всяких двух натуральных чисел результат операции снова лежит в этом множестве. .

б) рассмотрим . Если даны 2 рациональных числа, то рациональное число, т. е. - группоид.

в) рассмотрим - множество всех чётных чисел. Тогда можно записать в виде , 0,5(2х*2у) = 2ху снова чётное число.

Значит, - группоид.

Задача 4. Является ли группоид коммутативным:

, где .

Нет, контрпримеров много, , и т.д.

Задача 5. Является ли группоид коммутативным:

, где .

Так как , является.

Является ли группоид полугруппой (т.е. есть ли ассоциативность?)

* Задача 6. , где .

Проверяем.

= = = .

= =

Не совпадают. Ассоциативности нет. Комм тоже нет.

Задача 7. , где .

Проверяем для произвольных элементов.

= = = .

Результаты совпадают. Ассоциативность есть.

* Задача 8. , .

= = = .

Не совпадают. Ассоциативности нет.

Задача 9. , где .

= = = .

= = .

Но ведь , так что .

Не совпадают. Ассоциативности нет.

Задача 10. , где (операция оставляет только первый элемент).

Результаты совпадают. Ассоциативность есть.

Задача 11.

Указать нейтральный элемент (если он существует) в группоидах.

11.1. относительно операции . Ответ. 0.

11.2. , где . Правый нейтральный элемент 1.

Левый не существует. Допустим, , тогда

, т.е. логарифм по некоторому основанию был бы тождественной функцией.

11.3. - множество всех подмножеств относительно операции пересечения. , само множество.

11.4. - множество всех подмножеств относительно операции объединения. - пустое множество .

11.5 , где .

2ае = а 2е = 1 реш. ****

, .

* Задача 12. Проверить ассоциативность и наличие нейтрального элемента для , где .

Решение. = .

= .

Ассоциативность отсутствует.

Если , , то , но очевидно, что принимает разные значения при разных , и не может быть равно одному и тому же . Нейтральный элемент не существует.

- - - перерыв - - -

* Задача 13. Пусть . Является ли отображение ассоциативной операцией в ?

= = .

Ассоциативности нет.

Задача 14. Исследовать операцию вычисления наибольшего общего делителя (НОД). .

(коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность относительно сложения, нейтральный элемент).

Решение. Коммутативность: Если , то и , это равносильно и . Т.е. .

Ассоциативность .

Наибольшее натуральное число, являющееся делителем всех трёх исходных чисел.

Дистрибутивность. , это взаимно простые числа. В то же время, , .

Таким образом, есть контрпример, показывающий, что

Нейтрального элемента не существует. Допустим, что какое-то натуральное число обладает свойством: .

Тогда . Но если это , значит, должно делиться на все натуральные числа, то есть оно больше любого натурального числа.

Задача 15. Доказать, что если НОД чисел , то существуют такие , что .

Решение. Рассмотрим множество чисел .

Докажем, что если , то остаток от деления одного на второе из них тоже .

. Но ведь и их можно представить так:

. Тогда

= , где

, целые числа. То есть, .

Теперь рассмотрим наименьшее положительное число из множества . Оно и является НОД ( ), по следующей причине. Остаток от деления (или ) на должен , как доказано ранее. Но тогда было бы положительное число, меньшее чем , в этом множестве. А это невозможно, т.к. наименьшее. Поэтому делятся на без остатка.

Теперь о том, почему наибольший общий делитель. Если делятся на какое-то другое число , то тоже делится на , так как оба слагаемых делятся на .

Следствие. Если взаимно просты, то существуют такие , что .

Примеры к задаче 15. Найдутся такие , и причём даже не единственным образом, что , 3 и 5 взаимно просты.

Среди множества натуральных чисел вида , наименьшее именно 1, так как числа 3 и 5 взаимно просты.

(Таблица бесконечная во все стороны, показан фрагмент).

Составим такую же таблицу для чисел 2 и 4. НОД (2,4) = 2.

Операция умножения матриц.

Рассмотрим квадратные матрицы порядка 2.

Каждый элемент обозначается , где это номер строки, в которой он расположен, а - номер столбца.

Сложение матриц.

Эта операция определяется поэлементно, то есть суммируется каждая соответствующая пара элементов и .

Пример: + = .

* Сложение коммутативно и ассоциативно. Нейтральный элемент по сложению - нулевая матрица .

Умножение матрицы на константу. В матрице все элементы умножены на коэффициент , то есть равны .

Так как константа может быть и , то определено в том числе и вычитание матриц.

Тот же пример, но разность (устно).

Умножение двух матриц.

* Надо вспомнить из школьного курса операцию скалярного произведения двух векторов:

Операция умножения матриц определяется следующим образом. Мысленно разобьём первую матрицу на строки, вторую - на столбцы. Для каждой строки 1-й матрицы и каждого столбца 2-й матрицы определено скалярное произведение. Именно из них и состоит произведение.

2 примера: = , =

обратите внимание, что даже для квадратных матриц далеко не всегда выполняется закон коммутативности, здесь .

Ещё примеры:

= = = .

Докажем отсутствие коммутативности в общем случае:

Проверка ассоциативности.

= =

С другой стороны, =

Нейтральный элемент Е.

Существует такая матрица, которая во множестве матриц обладает свойством, аналогичным 1 во множестве чисел, то есть . Но как мы видели только что, матрица из всех единиц этим свойством не обладает, а вот если единицы только по главной диагонали, а вокруг - нули, то такое свойство будет выполняться.

Единичная матрица Е. Строение: , при .

Е =

= = = .

= аналогично, .

Матрица называется единичной матрицей. При этом выполняется .

= и = .

(Аналог среди матриц первого порядка: число 1). Итак, .

ПРАКТИКА 2.

Задача 17. Доказать, что во множестве матриц 2 порядка существует обратный элемент по умножению. Указание. Для матрицы рассмотреть .

Примечание. - определитель матрицы. Мы выведем формулу вычисления обратной матрицы позже, в линейной алгебре.

Решение. Проверим:

= =

= .

Задача 18. Доказать, что на множестве всех векторов трёхмерного пространства с операцией векторного умножения не существует нейтральный элемент.

Решение. Образ векторного произведения перпендикулярен умножаемым векторам: ┴ , ┴ . Предположим, что существует нейтральный элемент относительно данной операции, тогда для всякого вектора , откуда следует ┴ , что невозможно. Поэтому не существует вектор , при умножении на который всякий вектор отображался бы в вектор .

Задача 19. Доказать, что бинарная операция на множестве чисел является коммутативной и ассоциативной; найти нейтральный элемент.

Решение. Очевидно, что . Ассоциативность: выполнена так как при любой расстановке скобок результатом будет минимальное из трёх заданных чисел. Нейтральным элементом является число , так как для любого верно , значит .

Замечание. Для рассмотренной операции, задаваемой на множестве, неограниченном сверху, а также ограниченном, но не содержащем свою точную верхнюю грань, например , нейтрального элемента не существует.

Аналогично для множества определяется бинарная алгебраическая операция , причём нейтральным элементом является число .

Задача 20. Доказать, что множество всех сопротивлений (резисторов) образует коммутативный и ассоциативный группоид относительно операции параллельного соединения.

Решение.

Известно, что если сопротивления R₁ и R₂ соединить параллельно, то сопротивление получившегося элемента электрической цепи вычисляется по формуле , т.е. .

Можно поставить в соответствие множество сопротивлений и множество неотрицательных чисел. Вводя на множестве неотрицательных действительных чисел [0, ∞) бинарную операцию , докажем, что введённая операция будет коммутативной и ассоциативной.

Коммутативность: = .

Ассоциативность следует из равенств:

= =

= = .

С другой стороны,

= =

= .

Таким образом, .

При этом , . Последнее следует из того, что . Чтобы вычислить такой предел, можно сократить на : .

Нейтральным элементом относительно операции параллельного соединения будет участок электрической цепи, обладающий нулевой проводимостью, то есть изолятор с бесконечным сопротивлением. Тогда в предельном случае при получаем .

Задача 21. Доказать, что множество функций

, , ,

образует группоид относительно операции композиции.

Решение.

Проверим, что композиции приводят к функциям такого же вида, как указанные 4.

Во-первых очевидно, что , .

. .

Таблица:

Нейтральный элемент . Для каждого есть и обратный элемент (в каждой строке присутствует ).

На самом деле, это множество функций образует не только группоид, но и группу (только для этого надо проверять ещё и ассоциативность).

Множество , её подгруппа.

А вот , не подгруппа (не содержит нейтральный элемент).

Группы

Задача 22. Является ли группой следующий группоид:

, где . ( ).

Решение. Во-первых, является группоидом, так как замкнуто относительно этой операции.

Проверка того факта, что полугруппа (ассоциативность).

= = .

Ассоциативность есть.

Ищем нейтральный элемент.

Ищем обратный элемент.

(так как ) .

Итак, это множество образует группу относительно данной операции.

Задача 23. Является ли группой следующий группоид: .

Решение. Множество всех чётных чисел с операцией умножения. Группоидом является, т.к. произведение чётных снова чётно. Полугруппой тоже (ассоциативность по умножению очевидна).

Нейтральный элемент по умножению . Обратный элемент дробный, не принадлежит ни , ни даже . Вывод: группу не образует.

Определение. Группы называются изоморфными, если существует взаимно-однозначное отображение , такое, что для любых элементов выполняется .

Например, поворот плоскости относительно суммирования векторов – изоморфное отображение: суммирование векторов либо до, либо после поворота приводит к одному и тому же результату.

сложить можно как до, так и после умножения на коэффициент: .

не изоморфное, так как .

Пример: группа движений и симметрий правильных n-угольников. Для правильного n-угольника, группа всех поворотов и симметрий состоит из элементов. В группе подстановок ей изоморфна некоторая подгруппа, состоящая из элементов.

Задача 24. Найти подгруппу в группе подстановок порядка 4, изоморфную группе движений квадрата.

Решение. Заметим, что не каждая подстановка соответствует какому-то вращению или зеркальному отражению квадрата, например, .

Всего существует 4!=24 подстановки 4 порядка. В то же время, для движений квадрата всего 8 вариантов: 4 поворота (на углы 0,90,180,270) и 4 зеркальных отражений.

Сделаем все повороты на чертеже по порядку (по часовой стрелке).

, , , ,

Зеркальные отражения:

, , , .

две последних - относительно диагоналей, там то 1,3 то 2,4 остаются на месте.

Любое зеркальное отражение является композицией первого зеркального отражения (относительно вертикальной линии) а именно и некоторого поворота.

Например, отражение относительно диагонали, сохраняющее 2 и 4 на месте, это композиция:

Эти 8 подстановок образуют подгруппу, изоморфную группе движений квадрата.

Задача 25. Найти подгруппу в группе подстановок порядка 4, изоморфную группе движений ромба.

Решение.

Во-первых, повороты на 0⁰ и 180⁰:

Зеркальные отражения относительно диагоналей:

и (то 1 и 3, то 2 и 4 сохраняются).

Причём, каждое из зеркальных отражений - это композиция другого отражения и поворота на 180 градусов.

Обратный к каждому элемент это он сам. Если поменять 2 строки в каждой из таких подстановок и снова расположить по порядку, то исходная и получится.

Задача 26. Доказать, что множество всевозможных поворотов и симметрий тетраэдра образует группу, изоморфную группе подстановок 4-го порядка.

Решение. Каждое преобразование симметрии, при котором меняются местами две вершины, соответствует некоторой подстановке, меняющей местами два элемента (такая подстановка называется транспозицией).

Любая подстановка может быть получена с помощью транспозиций, поэтому любое преобразования тетраэдра может быть получено с помощью последовательного выполнения нескольких отображений симметрии.

п. 27. Комплексные числа и действия над ними.

Система действительных чисел является неполной, так как не содержит корни некоторых многочленов, например . Если квадратичное уравнение имеет отрицательный дискриминант, то есть , то на действительной оси нет ни одного корня. Введено абстрактное понятие «мнимая единица» обозначающая «квадратный корень из минус 1». При этом получается .

Геометрическая интерпретация. На плоскости, горизонтальная ось отождествляется со множеством действительных чисел, а мнимая ось, содержащая , перпендикулярна оси действительных чисел.

Каждой точке на плоскости с координатами можно поставить в соответствие комплексное число, состоящее из действительной и мнимой части: . Проекция на действительную и мнимую ось называются действительной частью и мнимой частью комплексного числа. , .

Если , то число это обычное действительное число.

Сложение и вычитание комплексных чисел определяется покоординатно, как для обычных векторов в плоскости.

= .

Умножение.

= , учитывая тот факт, что ,

получаем = .

Таким образом, после раскрытия скобок, надо просто учесть и привести подобные.

Пример. = = .

Определение. число называется сопряжённым к .

Умножим два взаимно сопряжённых комплексных числа:

= = , получилось действительное число. Мы заметили, что при умножении на сопряжённое мнимая часть станет 0.

Существует обратный элемент по умножению:

= = = .

Таким образом, множество комплексных чисел (за исключением 0) образует группу по умножению.

Поиск корней многочлена с отрицательным дискриминантом.

Пример 28. Найти корни уравнения .

Решение. , = = = .

Ответ. .

Кстати, как видно, получаются именно 2 взаимно сопряжённых корня.

Проверка. Подставим, например, в уравнение.

= = = .

Задача 29. Доказать, что группа, состоящая из 3 элементов, является коммутативной.

Решение. Так как - группа, то она должна содержать единицу относительно операции, действующей в данной группе. Тогда группа состоит из элементов 1, , . Рассмотрим всевозможные 9 произведений. Произведение любого элемента на 1 равно исходному элементу. Исследуем произведения .

	1
1	1

Для каждого элемента должен существовать обратный, поэтому в каждой строке и каждом столбце должен быть единичный элемент. Таким образом, =1 или =1. Пусть сам элемент является обратным к , то есть =1. Тогда , иначе для элемента существовало бы два различных обратных, а это невозможно. Также при этом не может быть .Ведь тогда элемент являлся бы нейтральным при умножении на , но нейтральный элемент единственный (было доказано в лекциях), и . По этой же причине невозможно . Следовательно, , это означает, что элемент - обратный к элементу в этой группе. Отсюда следует , иначе также был бы обратным к , но это невозможно, так как обратный элемент единственный. Остаётся только одна возможность: . Аналогичными рассуждениями доказывается, что . Итак, умножение в группе из 3 элементов можно представить следующей таблицей: