Применение признака перпендикулярности прямой и плоскости
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Перпендикулярность прямой и плоскости
Перпендикулярные прямые в пространстве
Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
В пространстве перпендикулярными называют не только пересекающиеся прямые, но и скрещивающиеся прямые, так как мы говорим об угле, который могут образовать эти прямые, если их поместить в одной плоскости.
Так же как и в плоскости, в пространстве перпендикулярные прямые a и b обозначают a⊥b.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая перпендикулярна этой прямой.
Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости.
Перпендикулярность прямой и плоскости обозначается как a⊥α.
Через любую точку пространства перпендикулярно данной плоскости проходит прямая, притом только одна.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Доказательство:
Пусть a ‑ прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости. Проведём прямую a через точку A пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая a перпендикулярна плоскости, то есть каждой прямой в этой плоскости.
1. Проведем произвольную прямую x через точку A в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой a. Проведём в плоскости произвольную прямую, не проходящую через точку A и пересекающую прямые b, c и x. Пусть точками пересечения будут B, C и X.
|
|
|
2. Отложим на прямой a от точки A в разные стороны равные отрезки AM и AN.
3. Треугольник MCN равнобедренный, так как отрезок AC является высотой по условию теоремы и медианой по построению (AM=AN). По той же причине треугольник MBN тоже равнобедренный.
4. Следовательно, треугольники MBC и NBC равны по трем сторонам.
5. Из равенства треугольников MBC и NBC следует равенство углов MBX и NBX и, следовательно, равенство треугольников MBX и NBX по двум сторонам и углу между ними.
6. Из равенства сторон MX и NX этих треугольников заключаем, что треугольник MXN равнобедренный. Поэтому его медиана XA является также высотой. А это и значит, что прямая x перпендикулярна a. По определению прямая a перпендикулярна плоскости.
Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.
1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
2. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Применение признака перпендикулярности прямой и плоскости
|
|
|
Условие задания:
1. Дан куб. Определи, какая из данных в ответе прямых перпендикулярна названной плоскости?
а) Плоскости (ABB 1) перпендикулярна прямая
AC
AC 1
B 1 C 1
BD 1
AA 1
BD
AB
б) Плоскости (BDD 1) перпендикулярна прямая
AB
AC
AA 1
AC 1
BD
BD 1
B 1 C 1
2. В каком ответе проведенная прямая, которая не лежит в плоскости названной фигуры, перпендикулярна плоскости этой фигуры? (может быть несколько вариантов ответа)
Прямая проведена перпендикулярно катетам прямоугольного треугольника
Прямая проведена перпендикулярно двум радиусам, которые не образуют диаметр окружности
Прямая проведена перпендикулярно двум сторонам квадрата
Прямая проведена перпендикулярно основанию равнобедренного треугольника
Прямая проведена перпендикулярно боковым сторонам трапеции
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 209; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!