Односторонние пределы конечны и равны.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Конспект урока математики

Дата 13..11.20; 24.11.20

Курс 2

Группа 4

Тема урока: «Исследование функции на непрерывность»

Урок № 27-28

Форма работы: индивидуальная, дистанционное обучение.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока: получить понятие исследования функции на непрерывность

Изучаемая литература: Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа.

10-11 классы: учеб.для общеобразоват.организаций: базовый и углубл.уровени./Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева и др.- 5 изд.- М.: Просвещение , 2018г

Интернет ресурсы. Математика в открытом колледже http://www.mathematics.ru

Ход занятия :

Организационный этап. Мотивационный модуль

Ребята, сегодня, вы рассмотрите материал по теме : «Исследование функции на непрерывность.».

Основная часть. Объясняющий модуль.

План изучения

1. Повторение определения непрерывной функции в точке и на промежутке.

2. План исследования функций.

3. Решение примеров на исследование функций

Определение 1

Функция f(x)f(x)является непрерывной в точке x0, если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке x0, т.е.: limx→x0−0f(x)=limx→x0+0f(x)=f(x0)

Определение 2

Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке х0, когда пределы справа и слева равны, но не равны значению функции в точке, т.е.:

limx→x0−0f(x)=limx→x0+0f(x)≠f(x0)

Определение 3

Функция имеет неустранимый разрыв первого рода в точке х0, когда пределы справа и слева не являются равными, т.е.: limx→x0−0f(x)≠limx→x0+0f(x)limx→x0-0f(x)≠limx→x0+0f(x). Точка х0 здесь – точка скачка функции.

Определение 4

Функция имеет разрыв второго рода в точке х0, когда какой-либо из пределов слева limx→x0−0f(x)limx→x0-0f(x) или справа limx→x0+0f(x)limx→x0+0f(x) не существует или бесконечен.

Для исследования функции на непрерывность необходимо:

1. Найти область определения функции;

2. Рассмотреть односторонние пределы в точках, где функция не существует; если функция кусочная, то рассмотреть односторонние пределы в точках «склейки»;

3. Исследовать функцию на бесконечности;

4. Построить эскиз графика функции.

Для классификации точек разрыва функции можно пользоваться таблицей, приведенной ниже.

Пусть – заданная функция, – исследуемая точка, – соответственно левый и правый пределы функции.

Тип разрыва	Условия
Функция непрерывна
Устранимый разрыв
Разрыв первого рода (скачок)	– конечны
Разрыв второго рода

4. Закрепление темы. Тренировочный модуль.

Пример 1

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.

Решение:

1) В точке , функция не определена.

2) Вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и равны.

Таким образом, в точке функция терпит устранимый разрыв.

Как выглядит график данной функции?

Проведем упрощение , и вроде бы получается обычная парабола. НО исходная функция не определена в точке , поэтому обязательна следующая оговорка:

Выполним чертёж:

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит устранимый разрыв.

Пример 2

Решение: Поскольку модуль неотрицателен, то он раскрывается следующим образом: , где «альфа» – некоторое выражение. В данном случае , и наша функция должна расписаться кусочным образом:

Сократим дроби на . Исходная функция не определена в точке , так как знаменатель обращается в ноль. Поэтому , и первое неравенство сделать строгим:

Выполним чертёж. В соответствии с нашими выкладками, слева от точки необходимо начертить фрагмент параболы (синий цвет), а справа – кусок параболы (красный цвет), при этом функция не определена в самой точке :

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Рассмотрим примеры кусочных функций.

Пример 3.

Функции являются непрерывными всюду, кроме, может быть, точек «склейки», то есть в , . Исследуем поведение функции в окрестности этих точек:

При функция определена и равна нулю, а функция в эту точку не заходит по условию.

· Функция называется непрерывной в , если ее левосторонний и правосторонний пределы существуют, между собой равны и равны значению функции в этой точке, то есть

Следовательно, точка x= 0 является точкой непрерывности функции.

Делаем вывод, что точка x= 2 является точкой разрыва первого рода и непрерывна слева (по условию).

Строим график склеенной функции:

Домашнее задание : написать конспект по теме урока.

Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 121; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!