Глава 3. Материалы для практических занятий
В задачах 1 – 10 разделить с остатком многочлен 
на 
:
1. 
, 
.
2. 
, 
.
3. 
, 
.
4. 
, 
.
5. 
, 
.
6. 
, 
.
7. 
, 
.
8. 
, 
.
9. 
, 
.
10. 
, 
.
В задачах 11 – 20 найти необходимые и достаточные условия делимости многочлена 
на 
:
11. 
, 
.
12. , 
.
13. 
, 
.
14. 
, .
15. 
, .
16. 
, 
.
17. 
, 
.
18. 
, 
.
19. 
, 
.
20. , 
.
В задачах 21 – 30 найти наибольший делитель многочленов 
и 
с помощью алгоритма Евклида:
21. 
, 
.
22. 
, 
.
23. 
, 
.
24. 
, 
.
25. 
, 
.
26. 
, 
.
27. 
, 
.
28. 
, 
.
29. 
, 
.
30. 
, 
.
В задачах 31 – 40, пользуясь алгоритмом Евклида, найти многочлены 
и 
так, чтобы 
, где 
– наибольший общий делитель многочленов и 
:
31. 
, 
.
32. 
, 
.
33. 
, 
.
34. 
, 
.
35. 
, 
.
36. 
, 
.
37. 
, 
.
38. 
, 
.
39. 
, 
.
40. 
, 
.
В заданиях 41–50, пользуясь схемой Горнера, разделить многочлен на линейный двучлен 
и найти значение многочлена при 
:
41. 
, 
.
42. 
, 
.
43. 
, 
.
44. 
, 
.
45. 
, 
.
46. 
, 
.
47. 
, 
.
48. 
, 
.
|
|
|
49. 
, 
.
50. 
, 
.
В задачах 51 – 55 найти остаток от деления многочлена на 
, не применяя теорему о делении с остатком:
51. 
, 
.
52. 
, 
.
53. 
, 
.
54. 
, 
.
55. 
, 
.
56. Многочлен 
при делении на 
и 
дает соответственно остатки 5 и 7. Найти остаток от деления этого многочлена на 
.
57. При делении на 
, и 
остатки соответственно равны 3, 15 и 0. Найти остаток от деления на 
.
58. Многочлен при делении на 
, 
, 
и на 
дает соответственно остатки 1, 3, 5 и 6. Найти остаток при делении этого многочлена на произведение 
.
59. Найти при каких значения a многочлен 
делится на 
.
60. При каких значения a и b многочлен 
при делении на 
дает остаток 15, а при делении на – остаток 0?
В задачах 61 – 70 найти кратность корня 
для многочлена 
.
61. 
, 
.
62. 
, 
.
63. 
, 
.
64. 
, 
.
65. 
, 
.
66. 
, 
.
67. 
, 
.
68. 
, .
69. 
, 
.
70. 
, 
.
В задачах 71 – 80, пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен по степеням 
. Найти значения многочлена и его производных при 
.
|
|
|
71. 
, 
.
72. 
, 
.
73. 
, 
.
74. 
, .
75. 
, 
.
76. 
, .
77. 
, 
.
78. , .
79. 
, 
.
80. 
, .
В задачах 81 – 90 разложить на простейшие дроби данные рациональные дроби:
81.  .
82.  .
83.  .
84.  .
85.  .
| 86.  .
87.  .
88.  .
89.  .
90.  .
|
В задачах 91 – 100 разложить многочлены и 
на неприводимые множители над полем действительных чисел:
91. 
, 
.
92. 
, 
.
93. 
, 
.
94. 
, 
.
95. 
, 
.
96. 
, 
.
97. 
, 
.
98. 
, 
.
99. 
, 
.
100. 
, 
.
В задачах 101 – 110 разложить многочлены на неприводимые множители над полями комплексных, действительных и рациональных чисел:
|
|
|
101.  .
102.  .
103.  .
104.  .
105.  .
| 106.  .
107.  .
108.  .
109.  .
110.  .
|
В задачах 111 – 120 доказать неприводимость многочленов над полем рациональных чисел:
111. 
, 
.
112. 
, 
.
113. 
, 
.
114. 
, 
.
115. 
, 
.
116. 
, 
.
117. 
, 
.
118. 
, 
.
119. 
, 
.
120. 
, 
.
В задачах 121 – 130 привести примеры неприводимых многочленов степени n и m над полем рациональных чисел:
| 121. n = 15, m = 201. 122. n = 4, m = 103. 123. n = 7, m = 1025. 124. n = 10, m = 3000. 125. n = 8, m = 287. | 126. n = 5, m = 1386. 127. n = 15, m = 852. 128. n = 11, m = 3000. 129. n = 20, m = 350. 130. n = 17, m = 1200. |
В задачах 131 – 140 построить многочлены наименьшей степени над полями C и R, имеющие старший коэффициент 
и корни:
131. 3 и 2 – i – простые, 
= 2.
132. 2 – 3i – простой, 1 – двойной, 
= 1.
133. 3, 1, –2i – простые, 
= 4.
134. – 1 – i – простой, 2 – двойной, = 2.
135. 1 + i – простой, – 1 – двойной, = 4.
136. 2, 3, 1 + i – простые, = 2.
137. 2i, 1, 5 – простые, = 1.
138. – i, – 1, 4 – простые, = 1.
139. 2 – i – простой, – 1 – простой, = 3.
140. 2, – 3, – 1+i – простые, = 1.
|
|
|
В задачах 141 – 150 найти корни многочлена , зная, что a один из его корней:
141. 
, 
.
142. 
, 
.
143. 
, 
.
144. 
, 
.
145. 
, 
.
146. 
, 
.
147. 
, 
.
148. 
, 
.
149. 
, 
.
150. 
, 
.
В задачах 151 – 160 найти рациональные корни многочленов:
151. 
.
152. 
.
153. 
.
154. 
.
155. 
.
156. 
.
157. 
.
158. 
.
159. 
.
160. 
.
В задачах 161 – 170 найти сумму и разность многочленов 
и 
:
161. 
,
.
162. 
,
.
163. 
,
.
164. 
,
.
165. 
,
.
166. 
,
.
167. 
,
.
168. 
,
.
169. 
,
.
170. 
,
.
В задачах 171 – 180 найти произведение, степень и высший член произведения многочленов:
171. 
,
.
172. 
,
.
173. 
,
.
174. 
,
.
175. 
,
.
176. 
,
.
177. 
,
.
178. 
,
.
179. 
,
.
180. 
,
.
В задачах 181 – 190 расположить лексикографически многочлены:
181. 
.
182. 
.
183. 
.
184. 
.
185. 
.
186. 
.
187. 
.
188. 
.
189. 
.
190. 
.
В задачах 191 – 200 выразить симметрические многочлены через основные симметрические:
191. 
.
192. 
.
193. 
.
194. 
.
195. 
.
196. 
.
197. 
.
198. 
.
199. 
.
200. 
.
В задачах 201 – 205 найти значение симметрического многочлена 
от корней уравнения:
201. 
,
.
202. 
,
.
203. 
,
.
204. 
,
.
205. 
,
.
В задачах 206 – 210 найти значение выражения от корней уравнения:
206. 
,
.
207. 
,
.
208. 
,
.
209. 
,
.
210. 
,
.
В задачах 211 – 215 найти сумму квадратов корней уравнения:
211. 
.
212. 
.
213. 
.
214. 
.
215. 
.
В задачах 216 – 220 найти сумму кубов корней уравнения:
216. 
.
217. 
.
218. 
.
219. 
.
220. 
.
В задачах 221 – 230 разложить на множители следующие многочлены:
221. 
.
222. 
.
223. 
.
224. 
.
225. 
.
226. 
.
227. 
.
228. 
.
229. 
.
230. 
.
В задачах 231 – 235 доказать тождество:
231. 
.
232. 
.
233. 
.
234. 
.
235. 
.
В задачах 236 – 240 доказать тождество при указанных условиях:
236. 
, если 
.
237. 
, если 
, 
, 
.
238. 
, если 
.
239. 
, если .
240. 
, если .
В задачах 241 – 250 решить системы уравнений:
241. 
242. 
243. 
244. 
245. 
246. 
247. 
248. 
249. 
250. 
Список литературы
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - 17-е издание. СПб.:- Издательский Дом «Лань», 2008.
2. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. 3-е издание. - СПб.:- Издательский Дом «Лань», 2009. - 336с.
3. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. 17-е издание. СПб. - Издательский Дом «Лань», 2008. 288 с.
4. Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. 2-е издание. - СПб.:- Издательский Дом «Лань» 2009.
5. Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение, 1980.
6. Солодовников А. С., Родина М. А. Задачник – практикум по алгебре. – М.: Просвещение, 1985.
7. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1964.
Логиновских Любовь Михайловна
МНОГОЧЛЕНЫ
Методические указания и материалы для практических занятий по алгебре со студентами специальности 010100 - Математика
Редактор Е.А. Устюгова
| Подписано к печати Формат 60х84 1/16 Бумага тип. №1 Печать трафаретная Усл. печ. л. 3,5 Уч.-изд. л. 3,5 Заказ Тираж 60 Цена свободная |
РИЦ Курганского государственного университета
640669, г. Курган, ул. Гоголя, 25.
Курганский государственный университет
Дата добавления: 2020-11-27; просмотров: 69; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!