Всероссийская олимпиада школьников по математике
Муниципальный этап
Класс
1. Докажите, что число 
является составным.
2. Сколько положительных чисел среди первых 100 членов последовательности: sin 1º, sin 10º, sin 100º, sin 1000º, …?
3. В треугольнике ABC AC = 18 см, BC = 21 см. Точка K является серединой стороны BC, а точка M серединой стороны AB, точка N лежит на стороне AC и AN = 6см. При этом MN = KN . Найдите длину стороны AB .
4. Докажите, что уравнение 
= 0 не имеет действительных корней.
5. Назовем число, большее 25, полупростым, если оно является суммой каких-то двух различных простых чисел. Какое наибольшее количество последовательных полупростых чисел могут оказаться полупростыми?
Решения задач. 10 класс (2016)
1. Обозначим число 2015 за a . Тогда 
=
= (a – 1)a(a + 1)(a + 2) + 1 = 
= 
= = 
Поэтому, 
= 
.
2. Заметим, что все члены последовательности, начиная с sin 1000º, равны между собой, так как разность между числами 
и 
при натуральных k > 2 кратна 360. Действительно - = (10 – 1) = 9∙ = 
. Непосредственной проверкой убеждаемся, что sin 1º > 0, sin 10º > 0, sin 100º > 0, sin 1000º = sin (360º∙3 - 80º) = sin (-80º) < 0. Значит, и остальные члены последовательности будут отрицательные. Таким образом, положительных членов среди первых 100 членов последовательности будет ровно три.
Ответ:3.
3. Так как M и K являются серединами сторон, то продолжим отрезки NM и NK за указанные точки на такое же расстояние и соединим точки L , B , A , N; а также F , B , N , C . Тогда четырехугольники ALBN , NBFC являются параллелограммами. Так как в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон, то имеем:
|
|
|
(для параллелограмма NBFC) и
(для параллелограмма ALBN).
Выразим из первого равенства 
и, учитывая, что MN = KN , получим: 
, откуда AB = 15 см.
Ответ:15 см.
4. Первый способ. Рассмотрим различные случаи:
1) Если x 
0, то левая часть уравнения будет положительная, поэтому уравнение не имеет корней.
2) Преобразуем уравнение 
= 0 к виду: 
. Данное уравнение не имеет решений при 0 < x < 1.
3) Преобразуем уравнение = 0 к виду: 
. Данное уравнение не имеет решений при x 
1.
Таким образом, ни при каком действительном x данное уравнение не имеет решений.
Второй способ. Домножим обе части уравнений 
на x + 1. Тогда получим уравнение 
, которое имеет корень x = - 1. Но проверкой убеждаемся, что число x = - 1 не является корнем исходного уравнения.
5. Заметим, что нечетное полупростое число может быть лишь суммой двойки и нечетного простого числа.
Покажем, что три подряд идущих нечетных числа 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, больших 25, не могут быть полупростыми одновременно. Предположим противное. Тогда получим, что числа 2n – 1, 2n + 1, 2n + 3 – простые, и все они больше 3. Но одно из этих трех чисел делится на 3. Получаем противоречие. Поэтому три подряд идущих нечетных числа 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, больших 25, не могут быть полупростыми одновременно.
|
|
|
Заметим, что среди любых шести последовательных натуральных чисел есть три подряд идущих нечетных числа, значит, последовательных полупростых чисел не может быть больше пяти. Пять подряд идущих чисел могут быть полупростыми; например, 30 = 17 +13, 31 = 29 + 2, 32 = 19 + 13, 33 = 31 + 2, 34 = 23 + 11. Существуют и другие примеры.
Ответ: 5.
Год
Дата добавления: 2020-11-27; просмотров: 70; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!