Основные формулы выборок с повторениями.

Правила комбинаторики

При решении некоторых практических задач часто приходится иметь дело с комбинациями некоторых объектов и подсчитывать число таких всевозможных комбинаций. Такие задачи назовем комбинаторными, а соответствующий раздел математики – комбинаторикой.

2 правила комбинаторики:

п. Если на одной полке стоит 30 книг, а на другой – 40 книг, то одну книгу можно выбрать 70 способами (70 = 30 + 40).

Обобщением этого примера является утверждение, называемое правилом суммы. «Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент в – n способами, то выбор «а или в» можно сделать (m + n) способами».

Правило произведения.

п. Пусть существует три кандидата на место командира корабля и два кандидата на место бортинженера. Сколькими способами можно сформировать экипаж корабля, состоящего из командира и бортинженера.

Правило: Пусть из множества А выбирается любой из m элементов и независимо от него из множества В выбирается любой из его n элементов. Тогда и первый и второй элементы могут быть выбраны m n способами.

Размещения, перестановки, сочетания

Сколькими способами можно выбрать и разместить по k различным местам k из n различных предметов?

Задача. В конкурсе принимают участие 20 человек. Сколькими способами можно присудить I, II и III премии? 20×19×18 = 6840

Опр. Упорядоченная выборка k элементов из n возможных называется размещением.

Число размещений из n объектов по k обозначают .

= n×(n-1)(n-2)…(n-(k-1)).

Определение n ! Произведение всех натуральных чисел от 1 до n называется n! (n факториал).

Задача. Учащиеся 9 класса изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на 1 день так, чтобы было 6 различных уроков?

Перестановки.

Если в размещениях рассмотреть случай k=n, то получим размещения, отличающиеся друг от друга только порядком элементов.

Другими словами: Встает вопрос: сколькими способами можно представить n различных предметов, расположенных на n различных местах.

Опр. Размещения из n элементов по n называются перестановками. Или: упорядоченная выборка n элементов из n возможных называется перестановкой.

Формула для вычисления числа перестановок: (*)

Формула утверждает, что n объектов можно расположить по n местам n! способами.

Задача. Сколькими способами могут можно составить 5-значноое число из цифр 1,2,3.4,5?

способов.

Сочетания.

В размещениях из n элементов по k комбинации отличаются либо набором элементов, либо порядком следования элементов.

Если порядок элементов не существенен, такие комбинации будем называть сочетаниями.

Опр. Сочетаниями из n элементов по k называют любой выбор k объектов из n возможных объектов. Число сочетаний обозначают .

Рассмотрим размещения из n элементов по k и объединим в отдельные группы такие комбинации, которые содержат k одинаковых элементов и отличаются друг от друга только порядком этих элементов.

Каждая такая группа содержит выборок. Поэтому справедлива формула .

. Свойство: .

Задача. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани 6 цветов?

Задача. В первые три вагона поезда садятся 9 пассажиров по 3 человека в каждый вагон. Сколькими способами это можно сделать?

Основные формулы выборок с повторениями.

Размещения с повторениями.

Задача 1. Найти число всех кортежей длины k, которые можно составить из элементов Х, где n(Х)=m.

n=m^k.

Задача. Сколько пятизначных номеров можно составить из девяти цифр

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.?

Перестановки с повторениями.

Опр. Перестановкой с повторениями состава (k₁…k_m) из букв (а₁ а₂…а_m) называют любой кортеж длины k=k₁+k₂+…+k_m, в который буква а₁ входит k₁ раз, … буква а_m – k_m раз. Число таких перестановок обозначают P(k₁ k₂ …k_m).

Задача. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «математика». Всего букв 10, м-2, а-3, т-2, е-1, и-1, к-1.

P(2, 3, 2, 1, 1, 1)=

Сочетания с повторениями.

Пусть имеется набор элементов m видов и из них составляется набор, содержащий k элементов. Два таких набора считаются одинаковыми в том и только в том случае, когда они имеют одинаковый состав. Такие наборы назовем сочетаниями с повторениями из m элементов по k. Число сочетаний с повторениями из m элементов по k обозначим . = .

Задача. Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеются 4 сорта пирожных?

наборов.

Дата добавления: 2020-11-27; просмотров: 368; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!