Математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения и распределения Пуассона.
Найдем математическое ожидание дискретной случайной величины 
, имеющей биномиальное распределение. Общее число 
появлений события 
в 
испытаниях складывается из чисел появления события в отдельных испытаниях:
,
где 
- число появлений события в первом испытании, 
- во втором, ..., 
- в -ом испытании. В каждом испытании событие может появиться с вероятностью 
и не появиться с вероятностью 
. Закон распределения дискретной случайной величины (5.3) для 
:
|
| 0 | 1 |
|
|
|
. Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании:
.
Тогда математическое ожидание числа появлений события в испытаниях будет равно:
.
Итак, математическое ожидание биномиального распределения с параметрами и равно произведению 
, т.е.
.
Можно доказать, что дисперсия биномиального распределения с параметрами и равна произведению 
, т.е.
.
Математическое ожидание дискретной случайной величины , имеющей распределение Пуассона равно параметру 
, т.е.
.
Дисперсия дискретной случайной величины, имеющей распределение Пуассона, численно равна ее математическому ожиданию и, следовательно параметру 
.
.
Пример 11. Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Пусть - число изделий первого сорта в данной выборке. Найти среднее значение и дисперсию случайной величины .
Решение. Среднее значение случайной величины – это ее математическое ожидание. Данная случайная величина распределена по биномиальному закону. Здесь 
, 
, 
. Следовательно, математическое ожидание числа изделий первого сорта
,
а дисперсия
.
Дата добавления: 2020-11-27; просмотров: 92; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!