Дифференциальные уравнения первого порядка.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Занятие 4. Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.

Вид занятия : лекция

Тип занятия : усвоения новых знаний и формирования умений

Цель:

· Изучение понятия дифференциального уравнения первого порядка;

· Повторение формул интегрирования и таблицы интегралов;

· Повторение методов интегрирования;

· Изучение алгоритмов решения дифференциального уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными;

· Изучение постановки и решения задачи Коши;

· Формирование навыков самостоятельной работы по заданному алгоритму решения дифференциального уравнения первого порядка;

· Формирование умений самостоятельно пополнять знания, пользоваться учебной литературой и др. источниками.

В результате изучения темы студент должен знать:

ü Понятия дифференциального уравнения первого порядка;

ü Виды дифференциальных уравнений первого порядка;

ü Определение решения дифференциального уравнения первого порядка;

ü Постановку и решение задачи Коши;

ü Понятие однородного и неоднородного дифференциального уравнения;

ü Алгоритм решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными;

В результате изучения темы студент должен уметь:

ü Выполнять интегрирование функций;

ü Решать по заданному алгоритму дифференциальные уравнения; первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными;

ü По заданному алгоритму решать задачу Коши;

ü Самостоятельно пополнять знания, пользоваться учебной литературой и др. источниками.

Литературные источники:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Дрофа - 2010.- 400 с.

2. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.-Дрофа-2009.

3. Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. - 2-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2007. - 384 с.

4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. - 573 с.

5. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М.: Издательский центр «Академия», 2007. - 352 с.

6. Спирина М.С. Дискретная математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М.: Издательский центр «Академия», 2010. - 368 с.

7. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1 и 2. - М.: Высшая школа, 2008.

8. Н.В. Богомолов Задачи по математике с решениями. - М.: Высшая школа, 2006

9. Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко Математика. - М.: Дрофа, 2004

10. З.И. Гурова, С.Н. Каролинская, А.П. Осипова Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002

11. И.Д. Пехлецкий Математика. - М.: Мастерство, 2001

12. В.Ф. Бутузов, Н.И. Крутицкая. Математичесий анализ в вопросах и задачах. - М.: Физматлит, 2000

13. Григорьева Л.И. Методические рекомендации для самостоятельной работы студентов по дисциплине Математика, 2019.

Актуализация опорных знаний

Повторить правила интегрирования и таблицу интегралов

1.2 Выполнить тестовое задание:

Тестовые задания по теме:

Свойства неопределенных интегралов.

Интегралы от основных элементарных функций.

Установить соответствие и найти пару:

1)		a )

2)		б) е ^х + С

3)		в)

4)		г)

5)		д) ln \|x\| + C

6)		е) sin x + C

7)		ж) , n –1

8)		з)

9)		и) f (x) dx

10)		к) f (x)

11) ′ =		л) – cos x + C

12) d (		м) x + C

Ответ представить в виде: например, 1-г, 2-а, 3-з и т.д.

Записать получившиеся формулы в тетрадь, предварительно убедившись в правильности полученного результата.

2 Изучение нового материала

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Основные понятия

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные у', у'', ... , у^(п) . Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F ( x , у', у'',.. ,у^(п))= 0. (1)

Порядком дифференциального уравненияназывается наибольший порядок производных, входящих в данное уравнение.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

F ( x ,у,у')=0. (2)

Решая данное уравнение относительно производной у', получим

у'= f (х,у). (3)

Уравнение (3) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Иногда уравнения (2), (3) записывают в дифференциалах:

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 . (4)

Дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Всякое отдельно взятое решение дифференциального уравнения называется его частным решением. С геометрической точки зрения совокупность всех решений дифференциального уравнения представляет собой семейство кривых, называемых интегральными кривыми, а каждое частное решение представляет отдельную интегральную кривую.

Геометрическая интерпретация:

Задача Коши

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

В случае дифференциального уравнения первого порядка задача Коши формулируется следующим образом: найти решение у = у(х) уравнения у' = f (х, у), удовлетворяющее при заданных начальных данных (х₀; у₀) начальному условию у(х₀)=у₀.

Геометрически решение, удовлетворяющее начальному условию у(х₀)=у₀, представляет интегральную кривую, проходящую через данную точку (х₀; у₀).

2.3Виды дифференциальных уравнений первого порядка

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

M(x)N(y) dx + P(x)Q(y) dy=0

M ( x ), P ( x ) – функции переменной x ,

N ( y ), Q ( y ) – функции переменной y .

Линейное дифференциальное уравнение y ' + f ( x ) y = g ( x )

Если g ( x ) 0, дифференциальное уравнение называется однородным, в противном случаедифференциальное уравнение называется неоднородным.

Дифференциальное уравнение с разделенными переменными

M ( x ) dx + N ( y ) dy =0

Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Дата добавления: 2020-11-23; просмотров: 59; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!