Законы вращательного движения твердого тела.

Министерство науки и высшего образования Российской федерации

Федеральное государственное бюджетное

Образовательное учреждение высшего образования

“УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ”

Филиал в г. Стерлитамак

Кафедра «Информатика, математика и физика»

Учебно-методическое пособие для практических занятий

(физические основы механики, молекулярная физика,

Термодинамика)

Кинематика, динамика, законы сохранения энергии

И импульса материальной точки. Элементы теории поля

Основные формулы

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси x

где f( t) - некоторая функция времени.

Проекция средней скорости на ось x

Средняя путевая скорость

где Ds - путь, пройденный точкой за интервал времени Dt. Путь Ds в отличие от разности координат Dx = x₂-x₁не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. Ds ³ 0.

Проекция мгновенной скорости на ось x

Проекция среднего ускорения на ось x

Проекция мгновенного ускорения на ось x

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности

 

, r=R-const

 

Модуль угловой скорости

Модуль углового ускорения

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

где  -модуль линейной скорости;   и  - модули тангенциального и нормального ускорений; w - модуль угловой скорости; e - модуль углового ускорения; R -радиус окружности.

Модуль полного ускорения

или

Угол между полным и нормальным ускорениями

Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью ,

.

Второй закон Ньютона

где - результирующая сила, действующая на материальную точку.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

где -коэффициент упругости (в случае пружины - жесткость);

x - абсолютная деформация;

б) сила тяжести

 

 

в) сила гравитационного взаимодействия

где - гравитационная постоянная; m₁ и m₂ - массы взаимодействующих тел; r - расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряженность  гравитационного поля:

г) сила трения (скольжения)

где f - коэффициент трения; N - сила нормального давления.

Закон сохранения импульса

или для двух тел (i=2)

,

где и   - скорости тел в момент времени, принятый за начальный;  и  - скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,

, или

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

где - жесткость пружины; x - абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия

где - гравитационная постоянная; m₁ и m₂ - массы взаимодействующих тел; r - расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

 

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

 

 

где g - ускорение свободного падения; h - высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где

R — радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии

Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:

 

Примеры решения задач

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x = A + Bt + Ct³, где А = 2 м, В = 1 м/с, С = - 0,5 м/с³. Найти координату х, скорость   и ускорение точки в момент времени t = 2с.

Решение. Координату xнайдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов A, B и C и времени t:

x = (2 + 1×2 - 0,5×2³)м = 0.

Мгновенная скорость относительно оси хесть первая производная от координаты по времени:

.

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

                                    

В момент времени t = 2 с

= (1 - 3×0,5×2²) м/c = - 5 м/c;

 = 6(- 0,5) × 2 м/с² = - 6 м/с².

 

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону j = A + Bt + Ct², где A= 10 рад, В = 20 рад/с, С = - 2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии г=0,1 м от оси вращения, для момента времени t =4 с.

Решение. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (рис.1):

Так как векторы  и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения

Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами

      

где w - модуль угловой скорости тела; e - модуль его углового ускорения.

Подставляя выражения   и в формулу (1), находим

 

. (2)

Угловую скорость w найдем, взяв первую производную угла поворота по времени:

В момент времени t = 4 с модуль угловой скорости

w = [20 + 2(-2)4] рад/с = 4 рад/с.

 

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

= 2 C = - 4 рад/с².

Подставляя значения w, e и r в формулу (2), получаем

 м/с = 1,65 м/с².

           Пример 3. Шар массой m₁, движущийся горизонтально с некоторой скоростью , столкнулся с неподвижным шаром массой m₂. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю e своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

                    (1)

где Т₁ - кинетическая энергия первого шара до удара; u₂ и Т₂ - скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

           Как видно из формулы (1), для определения e надо найти u₂. Согласно условию задачи импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, найдем:

                                 (2)

                   (3)

           Решим совместно уравнения (2) и (3):

           Подставив это выражение u₂ в формулу (1) и сократив на u₁ и m₁, получим

           Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.

Пример 4. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m= 80г (рис.2), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m₁ = 100г и m₂ = 200г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь.

 

Решение: Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим ось х вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза

;          (1)

для второго груза

                         (2)

Под действием моментов сил  и  относительно оси z перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение e. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения,

                          (3)

где - момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z.

                                    Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити  и . Воспользовавшись этим подставим в уравнение (3) вместо  и  выражения и  _, получив их предварительно из уравнений (1) и (2):

           После сокращения на  и перегруппировки членов найдем

              (4)

           Формула (4) позволяет массы m₁, m₂ и m выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускорение - в единицах СИ. После подстановки числовых значений в формулу (4) получим

 

Пример 5. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости u₁, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R=6,37×10⁶ м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли,пренебречь.

Решение. Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являющаяся потенциальной силой. При неработающем двигателе под действием потенциальной силы механическая энергия ракеты изменяться не будет. Следовательно,

Т₁ + П₁ = Т₂ + П₂,             (1)

где Т₁, П₁ и Т₂, П₂ - кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях.

           Согласно определению кинетической энергии,

           Потенциальная энергия ракеты в начальном состоянии

           По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия возрастает, а кинетическая - убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия Т₂ станет равной нулю, а потенциальная - достигнет максимального значения:

           Подставляя выражения Т₁, П₁, Т₂ и П₂ в (1), получаем 

откуда

           Заметив, что GM/R²=g (g - ускорение свободного падения у поверхности Земли), перепишем эту формулу в виде

что совпадает с выражением для первой космической скорости.

           Произведем вычисления:

м/с = 7,9 км/с.

Законы вращательного движения твердого тела.

---

Дата добавления: 2020-11-23; просмотров: 69; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!