Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
Исследование функции с помощью производной
1. Необходимое условие возрастания и убывания функции.
Т1. Если дифференцируемая функция 
возрастает ( 
) на сегменте 
, то 
ее первая производная 
. Если дифференцируемая функция ( 
) убывает на сегменте , то 
ее первая производная 
.
2. Достаточное условие возрастания и убывания функции.
Т2. Пусть функция непрерывна на сегменте и дифференцируема на интервале 
. Если ее первая производная 
, то функция возрастает на сегменте . Если ее первая производная 
, то функция убывает на сегменте .
3. Условия постоянства функции на сегменте .
Т3. Пусть функция непрерывна на сегменте и дифференцируема на интервале . Если ее первая производная 
, то функция постоянна на сегменте .
Пример 1. Исследовать функцию 
=x3-3x-4 на монотонность.
Решение: 
+ - +
Х
-1 1
при 
при 
Ответ: даннаяфункция возрастает при 
и убывает
4. Минимум и максимум (экстремумы) функции.
О1. Функция имеет в точке 
минимум ( 
), если существует та-кая 
-окрестность точки , что 
значение функции в любой другой точке 
из -окрестность точки превышает значение функции в самой точке , т.е. выполняется неравенство 
.
Обозначение 
.
О2. Функция имеет в точке максимум ( 
), если существует такая -окрестность точки , что значение функции в любой другой точке из -окрестность точки меньше значения функции в самой точке , т.е. выполняется неравенство 
.
|
|
|
Обозначение 
.
Пример 2. Найти на заданном графике точки максимума и минимума (Рис. 80).
Рис. 80. Максимумы и минимумы задан-
ной функции.
О3. Точки минимума и максимума объединяются под общим названием точки экстремума.
5. Необходимое условие существования экстремума функции.
Т4. Если дифференцируемая функция имеет в точке экстремум, то ее первая производная в этой точке равна нулю, т.е. 
.
PS.5. Обращение в нуль первой производной функции в точке является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума в этой точке. Непрерывная функция может иметь экстремум в точке даже в том случае, когда ее первая производная в этой точке не существует. В этом случае говорят об “острых” экстремумах.
Пример3. Доказать, что функция 
имеет “острый” экстремум в точке 
.
О4. Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими (стационарными или подозрительными на экстремум).
|
|
|
PS.6. Всякая точка экстремума является критической точкой, однако не любая критическая точка будет экстремумом.
Исследование функций с помощью производных: Достаточные признаки существования экстремумов. Выпуклость и вогнутость графика функции. Асимптоты
1. Первый и второй достаточные признаки существования экстремума.
Первый достаточный признак существования экстремума дается теоремой:
Т1. Если функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме может быть самой точки , и при переходе через эту точку слева направо ее первая производная меняет свой знак с “+” на “–”, то в точке функция имеет максимум, а если ее первая производная меняет свой знак с “–” на “+”, то в точке функция имеет минимум. Если при переходе через точку первая производная не меняет свой знак, то в этой точке экстремума нет.
Второй достаточный признак существования экстремума дается теоремой:
Т2. Если в точке первая производная функци обращается в ноль ( ), а вторая производная существует, непрерывна в некоторой окрестности этой точки и отлична от нуля в самой точке ( 
), то в точке наблюдается экстремум. Если при этом 
, то точка является точкой минимума, а при 
– точкой максимума.
|
|
|
Пример 4. Найти и определить тип экстремумов функции 
.
Вычислим первую производную функции и приравняем ее к нулю с целью отыскания критических точек: 
. Так как показательная функция 
, то 
. Отсюда находим критические точки 
и 
. Отложим эти точки на числовой оси и на каждом интервале определим знак первой производной функции, т.е. применим первый достаточный признак существования экстремума:
 |
– 0 + 2 –
При переходе слева направо через точку первая производная функция меняет свой знак с “–” на “+”, следовательно, в этой точке наблюдается минимум. При переходе слева направо через точку первая производная функция меняет свой знак с “+” на “–”, следовательно, в этой точке наблюдается максимум. Применим второй достаточный признак существования экстремума, для чего вычислим вторую производную функции: 
. Вычислим значение второй производной функции в точке : 
, следовательно, в этой точке функция имеет минимум. Вычислим значение второй производной функции в точке : 
, следовательно, в этой точке функция имеет максимум.
|
|
|
2. Наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте
1. Находят область определения функции и убеждаются в том, что заданный сегмент входит в эту область.
2. Находят критические точки, для чего решают уравнение , и точки, в которых первая производная функции не существует.
3. Вычисляют значения функции в критических точках, принадлежащих заданному сегменту, в точках, в которых первая производная функции не существует и на концах заданного сегмента.
4. Из полученных чисел выбирают наименьшее 
и наибольшее 
.
Пример 5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции 
на сегменте 
.
Действуя согласно вышеприведенной схеме, находим:
1. 
. Следовательно, функция определена и непрерывна на заданном сегменте.
2. Вычислим первую производную 
. Производная существует на всей числовой оси, поэтому найдем критические точки 
. Отсюда находим, что 
и 
.
3. Вычислим значение функции в критических точках и на концах заданного сегмента: 
.
4. Из полученных чисел выбираем наименьшее 
и наибольшее 
, которые определяют наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте .
Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
О1. График функции называется выпуклым на интервале , если он лежит ниже любой касательной, проведенной к графику этой функции на заданном интервале (Рис. 81).
Рис. 81. Выпуклый график функции .
О2. График функции называется вогнутым на интервале , если он лежит выше любой касательной, проведенной к графику этой функции на заданном интервале (Рис. 82).
Рис. 82. Вогнутый график функции .
Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции на том или ином интервале определяются теоремой:
Т3. Если вторая производная функции на интервале существует и положительна, то на этом интервале график функции будет вогнутым. Если вторая производная функции на интервале существует и отрицательна, то на этом интервале график функции будет выпуклым.
Пример 6. Определить интервалы вогнутости и выпуклости графика функции 
.
Найдем вторую производную от заданной функции 
. В силу того, что 
, то график функции будет вогнутым на всей числовой оси.
Пример 7. Определить интервалы вогнутости и выпуклости графика функции 
.
Найдем вторую производную от заданной функции 
. В силу того, что 
, то график функции будет выпуклым при отрицательных значениях аргумента и вогнутым при положительных значениях аргумента.
О3. Точка, отделяющая вогнутую часть графика функции от выпуклой (или выпуклую часть графика функции от вогнутой), называется точкой перегиба.
Выясним необходимые и достаточные условия существования точек перегиба.
Дата добавления: 2020-11-23; просмотров: 68; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!