Числовые характеристики выборочной

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА

Первичная обработка результатов наблюдений

Математическая статистика оперирует количественными признаками случайных массовых явлений, которые проявляются в виде значений некоторой случайной величины (случайного признака).

Разработка методов регистрации, описания и анализа экспериментального материала составляет предмет математической статистики.

Основными задачами математической статистики являются определение неизвестного закона распределения наблюдаемой случайной величины или систем, статистическая проверка гипотез о параметрах и законах распределения, нахождение оценок параметров распределения.

Конечное или бесконечное множество всех возможных значений случайного признака называется генеральной совокупностью.

Выборочной совокупностью, или просто выборкой объема n из генеральной совокупности называется последовательность n значений случайной величины Х, полученных в n независимых повторениях эксперимента. Выборка может быть представлена в виде простого перечня значений случайного признака (при малом объеме n) или в виде вариационного ряда – таблицы значений признака и им соответствующих частот

Схема составления вариационного ряда такова:

1) среди всех найти х_наим и х_наиб, вычислить размах вариации R = = x_наиб - х_наим;

2) выбрать количество разрядов k, руководствуясь условием (обычно k = 8 ¸ 12) и вычислить шаг ряда

3) разбить промежуток (х_наим, х_наиб) на k интервалов точками при этом границы разбиения должны быть удобными для дальнейших вычислений;

4) подсчитать количество значений признака, оказавшихся в интервалах т.е. определить частоту m_i попадания случайного признака Х в i – й интервал (или относительную частоту );

5) составить таблицу, в которой каждому интервалу соответствует частота m_i, показывающая, сколько значений случайного признака из выборочной совокупности оказалось в этом интервале; при этом следует заранее решить, какая из границ, левая или правая, принадлежит данному интервалу (табл. 10.1).

Таблица 10.1

Интервалы значений признака Х	x⁽⁰⁾ – x ⁽¹⁾	x ⁽¹⁾– x ⁽²⁾	. . .	x^(k-1)– x ^(k)
Дискретные значе-ния признака x_i	x₁	x ₂	. . .	x _k
Частоты признака m_i	m ₁	m ₂	. . .	m_k
Относительные частоты w_i	w ₁	w ₂	. . .	w _k

Интервальный ряд может быть преобразован в дискретный вариационный ряд. Для этого в каждом интервале надо выбрать какое-либо значение x_i (обычно это середина интервала).

Накопленной частотой S_i признака x_i (или соответствующего интервала) называется сумма всех предыдущих частот, включая частоту i-го признака:

Аналогично: накопленная относительная частота

Очевидно, что

Накопленная относительная частота является статистической функцией распределения случайного признака и обозначается

Графической иллюстрацией интервального вариационного ряда является гистограмма (рис. 10.1), дискретного вариационного ряда – полигон (многоугольник) частот (рис. 10.2); графическая иллюстрация накопленной частоты называется кумулятивной кривой (рис. 10.3), график статистической функции распределения показан на рис. 10.4.

Полигон частот по форме аналогичен графику плотности распределения случайной величины в выборочной совокупности.

10.1. По данным 55 наблюдений составить интервальный вариационный ряд, преобразовать его в дискретный ряд, вычислить накопленные частоты и составить статистическую функцию распределения.

17 19 23 18 21 15 16 13 20 18 15 20 14 20 16 14 20 19 15 19 16 19 15 22 21 12 10 21 18 14 14 17 16 13 19 18 20 14 16 20 19 17 18 18 21 17 19 17 13 17 11 18 19 19 17

¢ Размах вариации R = 24 – 10 = 14; из неравенства k £ 5 lg55 = = 8,7 определяем, что число разрядов можно принять равным 7. Тогда длина интервала Условимся считать, что каждому интервалу, кроме последнего, принадлежит только левая граница. Результаты группировки и вычислений записаны в таблице (10.2). £

Таблица 10.2

Границы интерва-лов	Середина интерв. х _i	Частота признака m_i	Накопл. частота S_i	Относит. частота w _i	Статистич. функц. распр. F ^*(x)
10 – 12	11	2	2	0,0364	0,0364
12 – 14	13	4	6	0,0727	0,1091
14 – 16	15	8	14	0,1455	0,2546
16 – 18	17	12	26	0,2182	0,4728
18 – 20	19	16	42	0,2909	0,7637
20 – 22	21	10	52	0,1818	0,9455
22 – 24	23	3	55	0,0545	1,0000

В задачах 10.2 – 10.4 требуется: 1) составить вариационный ряд; 2) вычислить накопленные частоты и статистическую функцию распределения; 3) построить гистограмму, полигон частот, кумулятивную кривую и график статистической функции распределения.

10.2. Контроль степени износа (в процентах) одинаковых элементов некоторого автоматического устройства за период времени Т дал следующие результаты:

13,4 14,7 15,2 15,1 13,0 8,8 14,0 17,9 15,1 16,5 16,6 14,2 16,3 14,6 11,7 16,4 15,1 17,6 14,1 18,8 11,6 13,9 18,0 12,4 17,2 14,5 16,3 13,7 15,5 16,2 8,4 14,7 15,4 11,3 10,7 16,9 15,8 16,1 12,3 14,0 17,7 14,7 16,2 17,1 10,1 15,8 18,3 17,5 12,7 20,7 13,5 14,0 15,7 21,9 14,3 17,7 15,4 10,9 18,2 17,3 15,2 16,7 17,3 12,1 19,2

10.3. Измерения емкости у 80 полевых транзисторов дали следующие результаты:

1,9 3,1 1,3 0,7 3,2 1,1 2,9 2,7 2,7 4,0 1,7 3,2 0,9 0,8 3,1 1,2 2,6 1,9 2,3 3,2 4,1 1,3 2,4 4,5 2,5 0,9 1,4 1,6 2,2 3,1 1,5 1,1 2,3 4,3 2,1 0,7 1,2 1,5 1,8 2,9 0,8 0,9 1,7 4,1 4,3 2,6 0,9 0,8 1,2 2,1 3,2 2,9 1,1 3,2 4,5 2,1 3,1 5,1 1,1 1,9 0,9 3,1 0,9 3,1 3,3 2,8 2,8 2,5 4,0 4,3 1,1 2,1 3,8 4,6 3,8 2,3 3,9 2,4 4,1 4,2

10.4. Длина североморской камбалы (в см) в возрасте от 10 до 15 лет имеет значения:

48,1 47,8 48,1 49,7 54,1 48,4 48,7 47,4 50,0 48,3

49,9 52,2 52,3 50,3 51,7 44,6 51,5 53,6 51,2 50,1

50,9 48,2 51,3 49,3 48,5 52,6 50,4 49,8 50,5 49,2

45,8 50,2 49,5 47,6 50,5 49,2 47,3 49,1 47,1 47,2

52,1 46,4 51,4 52,4 49,9 48,6 55,6 52,8 54,7 47,6

49,4 49,5 44,0 49,5 52,5 51,8 45,2 48,8 50,8 50,3

51,7 50,8 50,2 51,2 46,8 47,5 50,7 52,4 47,2 49,6

50,1 49,3 47,4 51,2 51,6 49,6 49,3 49,4 52,7 51,1

Числовые характеристики выборочной

Совокупности

Числовыми характеристиками случайного признака в выборке являются:

1) выборочная средняя (выборочный начальный момент первого порядка ):

или ; (10.1)

2) выборочная дисперсия (выборочный центральный момент второго порядка ):

или (10.2)

3) выборочное среднее квадратичное отклонение

(10.3)

4) модой М_о эмпирического распределения называется значение признака, обладающего наибольшей частотой;

для интервального вариационного ряда

(10.4)

где - нижняя граница модального интервала,

- частоты модального, предмодального и послемодального интервалов,

h - ширина интервала (шаг ряда);

5) медианой М_е эмпирического распределения называется значение случайного признака, делящего выборочную совокупность на две равновеликие части; для дискретного ряда медиана равна или , для интервального -

(10.5)

где нижняя граница медианного интервала, определяемого по вы-

шеуказанному правилу;

n - объем выборки;

m_e - частота медианного интервала;

S_-₁ - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

6) коэффициент вариации V = (10.6)

7) асимметрия и эксцесс эмпирического распределения

(10.7)

где выборочные центральные моменты определяются через начальные моменты случайной величины соотношениями

В задачах 10.5 – 10.7 вычислить характеристики выборочной совокупности (среднее значение случайного признака, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану, коэффициент вариации, асимметрию и эксцесс).

10.5.

Интервалы	5 – 7	7 – 9	9 – 11	11 – 13	13 – 15	15 – 17
Частоты	8	14	40	26	6	4

10.6.

Интервалы	10 – 14	14 – 18	18 – 22	22 – 26	26 – 30	30 – 34
Частоты	1	5	10	20	18	3

10.7.

Интервалы	2 – 4	4 – 6	6 – 8	8 – 10	10 –12	12 –14
Частоты	10	20	10	8	4	1

В том случае, когда значения случайного признака в выборке выражены большими числами, затрудняющими процедуры вычислений, можно использовать линейное преобразование вида

(10.8)

где h – шаг ряда (ширина интервала),

x_m - мода выборочного распределения.

Преобразование вносит в выборку систематическую ошибку x_m, при этом результат подвергается преобразованию масштаба с коэффициентом В итоге новые варианты u₁, u₂, …, u_n можно рассматривать как выборку из генеральной совокупности Тогда выборочные моменты случайной величины Х определяются через соответствующие моменты случайной величины U следующим образом:

в частности, откуда следует, что

10.8. Вычислить для данной выборки.

Интервалы	134-138	138-142	142-146	146-150	150-154	154-158
Частоты	1	3	15	18	14	2

¢ Преобразуем интервальный ряд в дискретный, взяв в качестве дискретных значений x_i признака середины интервалов. Одновременно преобразуем случайную величину Х в случайную величину U при h = 4 и x_m = 148. Составим рабочую таблицу (10.3).

Таблица 10.3

x_i	m_i	u_i	u_im_i
136	1	- 3	- 3	9	- 27	81
140	3	- 2	- 6	12	- 24	48
144	15	-1	- 15	15	- 15	15
148	18	0	0	0	0	0
152	14	1	14	14	14	14
156	2	2	4	8	16	32
	53		- 6	58	- 36	190

Заполнив таблицу, вычисляем выборочные начальные моменты «условного» признака U:

Далее находим выборочные центральные моменты признака U .

Наконец, определяем искомые характеристики выборки:

Дата добавления: 2020-11-23; просмотров: 125; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!