Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:
Дано: РАВС – правильная треугольная пирамида.
АВ = ВС = АС.
РО – высота.
Доказать: . См. Рис. 5.
Доказательство.
РАВС – правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС. Пусть О – центр треугольника АВС, тогда РО – это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС. Заметим, что .
Треугольники РАВ, РВC, РСА – равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА. Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:
Sбок = 3SРАВ
Теорема доказана.
Задача 1
Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Дано: правильная четырехугольная пирамида АВСD,
АВСD – квадрат,
r = 3 м,
РО – высота пирамиды,
РО = 4 м.
Найти: Sбок . См. Рис. 6.
Рис. 6
Решение.
По доказанной теореме, .
найдем сначала сторону основания АВ. Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.
Тогда, м.
Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:
Рассмотрим треугольник BCD. Пусть М – середина стороны DC. Так как О – середина BD, то (м).
|
|
Треугольник DPC – равнобедренный. М – середина DC. То есть, РМ – медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC. Тогда РМ – апофема пирамиды.
РО – высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой ОМ, лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ.
(м).
Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:
Ответ: 60 м2.
Задача 2
Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен м. Площадь боковой поверхности равна 18 м2. Найдите длину апофемы.
Дано: АВСP – правильная треугольная пирамиды,
АВ = ВС = СА,
R = м,
Sбок = 18 м2.
Найти: . См. Рис. 7.
Рис. 7
Решение.
В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.
м.
Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр.
м.
По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где hа – апофема пирамиды. Тогда:
Ответ: 4 м.
|
|
Итоги занятия
Итак, мы рассмотрели, что такое пирамида, что такое правильная пирамида, доказали теорему о боковой поверхности правильной пирамиды. На следующем уроке мы познакомимся с усечённой пирамидой.
Дата добавления: 2020-11-23; просмотров: 126; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!